cho a,b,c là các số dương thỏa mãn điều kiện: a+b+c+ab+bc+ca =6 Chứng minh rằng : a^3/b+b^3/c+c^3/a>a^2+b^2+c^2>3

0 bình luận về “cho a,b,c là các số dương thỏa mãn điều kiện: a+b+c+ab+bc+ca =6 Chứng minh rằng : a^3/b+b^3/c+c^3/a>a^2+b^2+c^2>3”

1. Giải thích các bước giải:

   $\text{Ta có: a+b+c+ab+bc+ca =6}\rightarrow 6\le (a+b+c)+\dfrac{(a+b+c)^2}{3}$

   $\rightarrow (a+b+c)^3+3(a+b+c)-18\ge 0\rightarrow (a+b+c-3)(a+b+c+6)\ge 0\rightarrow a+b+c\ge 3$

   $\rightarrow a^2+b^2+c^2\ge \dfrac{(a+b+c)^2}{3}=3(1)$

   $\text{Lại có: }$

         $P=\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}$ 

   $\rightarrow P+ab+bc+ca=(\dfrac{a^3}{b}+ab)+(\dfrac{b^3}{c}+bc)+(\dfrac{c^3}{a}+ca)$

   $\rightarrow P+ab+bc+ca\ge 2\sqrt[]{\dfrac{a^3}{b}.ab}+2\sqrt[]{\dfrac{b^3}{c}.bc}+2\sqrt[]{\dfrac{c^3}{a}.ca}$

   $\rightarrow P+ab+bc+ca\ge 2a^2+2b^2+2c^2$

   $\rightarrow P+ab+bc+ca\ge a^2+b^2+c^2+(ab+bc+ca)$

   $\rightarrow P\ge a^2+b^2+c^2(2)$

   $Từ \quad(1)+(2) \rightarrow \dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\ge a^2+b^2+c^2\ge 3$

   Bình luận