Cho a,b,c là các số không âm. Chứng minh rằng a +b+c $\geq$ $\sqrt[]{ab}$ + $\sqrt[]{ac}$ + $\sqrt[]{bc}$

Đáp án:

Ta sử dụng phương pháp biến đổi tương đương

$a+b+c\ge \sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}$

$↔2a+2b+2c\ge 2\sqrt{ab}+2\sqrt{ac}+2\sqrt{bc}$

$↔2a+2a+2c-2\sqrt{ac}-2\sqrt{ac}-2\sqrt{bc}\ge0$

$↔(a-2\sqrt{ab}+b)+(b-2\sqrt{bc}+c)+(c-\sqrt{ca}+a)\ge0$

$↔(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2+(\sqrt{b}-\sqrt{c})^2+(\sqrt{c}-\sqrt{a})^2\ge 0(\text{luôn đúng})$

Đẳng thức xảy ra $↔a=b=c$

Vậy BĐT được chứng minh