Cho a,b,c là các số không âm. Chứng minh rằng a +b+c $\geq$ $\sqrt[]{ab}$ + $\sqrt[]{ac}$ + $\sqrt[]{bc}$ 13/11/2021 Bởi Delilah Cho a,b,c là các số không âm. Chứng minh rằng a +b+c $\geq$ $\sqrt[]{ab}$ + $\sqrt[]{ac}$ + $\sqrt[]{bc}$
Đáp án: Ta sử dụng phương pháp biến đổi tương đương $a+b+c\ge \sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}$ $↔2a+2b+2c\ge 2\sqrt{ab}+2\sqrt{ac}+2\sqrt{bc}$ $↔2a+2a+2c-2\sqrt{ac}-2\sqrt{ac}-2\sqrt{bc}\ge0$ $↔(a-2\sqrt{ab}+b)+(b-2\sqrt{bc}+c)+(c-\sqrt{ca}+a)\ge0$ $↔(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2+(\sqrt{b}-\sqrt{c})^2+(\sqrt{c}-\sqrt{a})^2\ge 0(\text{luôn đúng})$ Đẳng thức xảy ra $↔a=b=c$ Vậy BĐT được chứng minh Bình luận
Đáp án+Giải thích các bước giải: `a+b+c>=\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}` `->2a+2b+2c>=2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2\sqrt{ca}` `->a-2\sqrt{ab}+b+b-2\sqrt{bc}+c+c-2\sqrt{ca}+a>=0` `->(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2+(\sqrt{b}-\sqrt{c})^2+(\sqrt{c}-\sqrt{a})^2>=0` luôn đúng Dấu = xảy ra khi `\sqrt{a}=\sqrt{b}=\sqrt{c}` `->a=b=c` Bình luận
Đáp án:
Ta sử dụng phương pháp biến đổi tương đương
$a+b+c\ge \sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}$
$↔2a+2b+2c\ge 2\sqrt{ab}+2\sqrt{ac}+2\sqrt{bc}$
$↔2a+2a+2c-2\sqrt{ac}-2\sqrt{ac}-2\sqrt{bc}\ge0$
$↔(a-2\sqrt{ab}+b)+(b-2\sqrt{bc}+c)+(c-\sqrt{ca}+a)\ge0$
$↔(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2+(\sqrt{b}-\sqrt{c})^2+(\sqrt{c}-\sqrt{a})^2\ge 0(\text{luôn đúng})$
Đẳng thức xảy ra $↔a=b=c$
Vậy BĐT được chứng minh
Đáp án+Giải thích các bước giải:
`a+b+c>=\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}`
`->2a+2b+2c>=2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2\sqrt{ca}`
`->a-2\sqrt{ab}+b+b-2\sqrt{bc}+c+c-2\sqrt{ca}+a>=0`
`->(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2+(\sqrt{b}-\sqrt{c})^2+(\sqrt{c}-\sqrt{a})^2>=0` luôn đúng
Dấu = xảy ra khi
`\sqrt{a}=\sqrt{b}=\sqrt{c}`
`->a=b=c`