Cho `a;b;c` là các số `\ne0` thoả mãn `a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3=3a^2b^2c^2`
Tính giá trị biểu thức `P=(1+a/b)(1+b/c)(1+c/a)`
Cho `a;b;c` là các số `\ne0` thoả mãn `a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3=3a^2b^2c^2`
Tính giá trị biểu thức `P=(1+a/b)(1+b/c)(1+c/a)`
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Đặt `x=ab,y=bc,z=ac`
Ta có: `a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3=3a^2b^2c^2`
`⇔ x^3+y^3+z^3=3xyz`
`⇔ (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)=0`
`⇔` \(\left[ \begin{array}{l}x+y+z=0\\x=y=z\end{array} \right.\)
Biểu thức `P=(1+a/b)(1+b/c)(1+c/a)`
`P=(1+z/y)(1+x/z)(1+y/x)`
+) Với `x+y+z=0`
`⇒ x+y=-z,y+z=-x,x+z=-y`
`P=(\frac{y+z}{y})(\frac{z+x}{z})(\frac{x+y}{x})=\frac{-x}{y}.\frac{-y}{z}.\frac{-z}{x}=-1`
+) Với `x=y=z`
`P=(1+1)(1+1)(1+1)=8`
ta có :
`x^3+y^3+z^3=3xyz⇔x+y+z=0 `hoặc` x=y=z`
gọi `x=ab ; y=bc ; z=ca`
`⇒a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3=3ab.bc.ca=3a^2b^2c^2`
`⇒ab+bc+ca=0` hoặc` a=b=c`
với `ab+bc+ca=0`
`P=(1+a/b)(1+b/c)(1+c/a)`
`P=(1+z/y)(1+x/z)(1+y/x)`
`P=-x/y.-y/z.-z/x`
`p=-1`
với` a=b=c`
`⇒P=(1+1)^3`
`⇒P=8`