cho a,b,c là các số nguyên dương sao cho mỗi số nhỏ hơn tổng của hai số kia. Chứng minh rằng:
a/b+c + b/c+a + c/b+a < 2
cho a,b,c là các số nguyên dương sao cho mỗi số nhỏ hơn tổng của hai số kia. Chứng minh rằng:
a/b+c + b/c+a + c/b+a < 2
Đặt `A= a/(b+c) + b/(c+a) + c/(b+a)`
Ta có:
`a/(b+c) < (a+a)/(a+b+c) = (2a)/(a+b+c) (1)`
`b/(c+a) < (b+b)/(a+b+c) = (2b)/(a+b+c) (2)`
`c/(b+a) < (c+c)/(a+b+c) = (2c)/(a+b+c) (3)`
Từ `(1) ; (2);(3)` cộng vế với vế ta được:
`a/(b+c) + b/(c+a) + c/(b+a) < (2a)/(a+b+c) + (2b)/(a+b+c) + (2c)/(a+b+c) `
`=> A< (2a+2b+2c)/(a+b+c)`
`=> A< (2(a+b+c))/(a+b+c)`
`=> A <2`
Vậy `a/(b+c) + b/(c+a) + c/(b+a) <2 `
Đáp án:
`text{Ta có :}`
\(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{a}{b + c} < \dfrac{2a}{a + b + c}\\ \dfrac{b}{c+a} < \dfrac{2b}{a + b + c}\\ \dfrac{c}{b + a} < \dfrac{2c}{a + b + c}\end{array} \right.\) `text{(*)}`
`text{Từ (*) cộng theo vế ta được :}`
`⇔ a/(b + c) + b/(c + a) + c/(b + a) < (2a)/(a + b + c) + (2b)/(a + b + c) + (2c)/(a + b + c)`
`⇔ a/(b + c) + b/(c + a) + c/(b + a) < (2a + 2b + 2c)/(a + b + c)`
`⇔ a/(b + c) + b/(c + a) + c/(b + a) < (2 (a + b + c) )/(a + b + c)`
`⇔ a/(b + c) + b/(c + a) + c/(b + a) < 2 (đpcm)`