Cho a,b,c là các số nguyên dương và $a^{2}$+$b^{2}$+$c^{2}$=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của
P=$\frac{bc}{a}$ + $\frac{ac}{b}$ + $\frac{ab}{c}$
(Ctlhn + 5 sao)
Cho a,b,c là các số nguyên dương và $a^{2}$+$b^{2}$+$c^{2}$=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của
P=$\frac{bc}{a}$ + $\frac{ac}{b}$ + $\frac{ab}{c}$
(Ctlhn + 5 sao)
Đáp án:
`Min=√3`
Giải thích các bước giải:
`P²=((bc)²)/(a²)+((ca)²)/(b²)+((ab)²)/(c²)+2a²+2b²+2c²`
Áp dụng Cô-si
`((bc)²)/(a²)+((ca)²)/(b²)≥2c²`
`((ca)²)/(b²)+((ab)²)/(c²)≥2a²`
`((ab)²)/(c²)+((bc)²)/(a²)≥2b²`
`⇒P²≥3(a²+b²+c²)`
`⇒P≥√3`
Dấu bằng khi `a=b=c=1/√3`
Học tốt
Vì `,b,c` là số dương nên `P > 0`
Ta có :
`P = [bc]/a+[ac]/b+[ab]/c`
`⇒ P^2 = [b^2c^2]/[a^2]+[a^2c^2]/[b^2]+[a^2b^2]/[c^2]+2c^2+2b^2+2a^2`
`⇒ P^2 = 1/2([b^2c^2]/[a^2]+[a^2c^2]/[b^2]+[a^2b^2]/[c^2]+[b^2c^2]/[a^2]+[a^2c^2]/[b^2]+[a^2b^2]/[c^2])+2`
`⇒ P^2 = 1/2[c^2([a^2]/[b^2]+[b^2]/[a^2])+b^2([a^2]/[c^2]+[c^2]/[a^2])+a^2([b^2]/[c^2]+[c^2]/[b^2])]+2`
`⇒ P^2 ≥ 1/2(c^2 .2+b^2 .2+a^2 .2)+2`
`⇒ P^2 ≥ 1/2 .2(a^2+b^2+c^2)+2`
`⇒ P^2 ≥ 3`
`⇒ P ≥ \sqrt[3]` (Vì `P>0`)
Vậy `P_min=\sqrt[3] ⇔ a=b=c=1/[\sqrt[3]]`