Cho a, b, c là các số thỏa mãn ab + bc + ca=0. Chứng minh rằng:
$a^{3}$($b^{2}$ – $c^{2}$) + $b^{3}$($c^{2}$ – $a^{2}$) + $c^{3}$($a^{2}$ – $b^{2}$) = 0
Cho a, b, c là các số thỏa mãn ab + bc + ca=0. Chứng minh rằng:
$a^{3}$($b^{2}$ – $c^{2}$) + $b^{3}$($c^{2}$ – $a^{2}$) + $c^{3}$($a^{2}$ – $b^{2}$) = 0
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
$ab + bc + ca = 0$Ta có:
$ a³(b² – c²) + b³(c² – a²) + c³(a² – b²) $
$ = a³[(b² – a²) + (a² – c²)] + b³(c² – a²) + c³(a² – b²) $
$ = – a³(a² – b²) + a³(c² – a²) – b³(c² – a²) + c³(a² – b²) $
$ = (a³ – b³)(c² – a²) + (c³ – a³)(a² – b²)$
$ = (a – b)(c – a)[(c + a)(a² + ab + b²) – (a + b)(c² + ca + a²)]$
$ = (a – b)(c – a)(ab²+ b²c + abc – abc – bc² – c²a)$
$ = (a – b)(c – a)[b(ab + bc + ca) – c(ab + bc + ca)]$
$ = (a – b)(b – c)(c – a)(ab + bc + ca) = 0 ( đpcm)$
`a^3(b^2-c^2)+b^3(c^2-a^2)+c^2(a^2-b^2)`
`=(a-b)(a+b)c^2+(a-b)a^2b^2-c^2(a^3-b^3)`
`=(a-b)(ac^2+bc^2)+(a-b)a^2b^2-(a-b)(a^2c^2+b^2c^2+abc^2)`
`=(a-b)(ac^2+bc^2+a^2b^2-a^2c^2-b^2c^2-abc^2)`
`=(a-b)(b-c)(abc+bc^2+ac^2-a^2b-abc-ca^2)`
`=(a-b)(b-c)(c-a)(ab+bc+ac)`
`=0`