cho a,b,c là các số thỏa mãn điều kiện ab+b+ca=abc+a+b+c chứng minh rằng 1/(3+ab-2a+b) + 1/(3+bc-2b+c) + 1/(3+ac-2c+a)=1 giúp mik vs nha

09/11/2021 Bởi Skylar

cho a,b,c là các số thỏa mãn điều kiện ab+b+ca=abc+a+b+c chứng minh rằng 1/(3+ab-2a+b) + 1/(3+bc-2b+c) + 1/(3+ac-2c+a)=1
giúp mik vs nha

0 bình luận về “cho a,b,c là các số thỏa mãn điều kiện ab+b+ca=abc+a+b+c chứng minh rằng 1/(3+ab-2a+b) + 1/(3+bc-2b+c) + 1/(3+ac-2c+a)=1 giúp mik vs nha”

khanhchau

09/11/2021 vào lúc 17:14

Đáp án:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương ta được: $a^{3} + b^{3} + 1 \geq 3 \sqrt[3]{a^{3} b^{3}} = 3 a b$ .

Suy ra $\frac{\sqrt{a^{3} + b^{3} + 1}}{a b} \geq \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{a b}}$ , áp dụng tương tự ta được bất đẳng thức

$\frac{\sqrt{a^{3} + b^{3} + 1}}{a b} + \frac{\sqrt{b^{3} + c^{3} + 1}}{b c} + \frac{\sqrt{c^{3} + a^{3} + 1}}{c a} \geq \sqrt{3} (\frac{1}{\sqrt{a b}} + \frac{1}{\sqrt{b c}} + \frac{1}{\sqrt{c a}})$

Mặt khác cũng theo bất đẳng thức Cauchy ta lại có $\frac{1}{\sqrt{a b}} + \frac{1}{\sqrt{b c}} + \frac{1}{\sqrt{c a}} \geq 3 \sqrt[3]{\frac{1}{\sqrt{a^{2} b^{2} c^{2}}}} = 3$ .

Do đó: $\frac{\sqrt{a^{3} + b^{3} + 1}}{a b} + \frac{\sqrt{b^{3} + c^{3} + 1}}{b c} + \frac{\sqrt{c^{3} + a^{3} + 1}}{c a} \geq 3 \sqrt{3}$ .

Giải thích các bước giải:

Bình luận

Viết một bình luận Hủy