Cho a ,b,c là các số thực CMR a ² +b ²+c ² ≥ |ab+bc+ca| 13/10/2021 Bởi Maya Cho a ,b,c là các số thực CMR a ² +b ²+c ² ≥ |ab+bc+ca|
`a^2 +b^2+c^2 \ge |ab + bc + ac|` Ta có ` a^2 + b^2 \ge 2|ab|` Thật vậy : ` a^2 + b^2 \ge 2|ab|` ` <=> a^2 – 2|ab| + b^2 \ge 0` ` <=> ( |a| – |b| )^2 \ge 0` (đúng) Vậy ` a^2 + b^2 \ge 2|ab|` CMTT ta có ` b^2 +c^2 \ge 2|bc| ` ` c^2 + a^2 \ge 2|ac|` ` => 2(a^2+b^2+c^2) \ge 2(|ab| + |ac| + |bc|)` ` => a^2 +b^2+ c^2 \ge |ab| + |ac| + |bc| \ge |ab+ bc + ac|` (đpcm) Bình luận
Đáp án+Giải thích các bước giải: `a^2+b^2+c^2` Áp dụng BĐT cosi ta có: `a^2+b^2>=2|ab|` `b^2+c^2>=2|bc|` `c^2+a^2>=2|ac|` `=>2(a^2+b^2+c^2)>=2(|ab|+|bc|+|ca|)` `<=>a^2+b^2+c^2>=|ab|+|bc|+|ca|` Áp dụng BĐT `|A|+|B|>=|A+B|` `=>|ab|+|bc|>=|ab+bc|` `=>|ab|+|bc|+|ca|>=|ab+bc|+|ca|>=|ab+bc+ca|` `=>a^2+b^2+c^2>=|ab+bc+ca|(ĐPCM)` Bình luận
`a^2 +b^2+c^2 \ge |ab + bc + ac|`
Ta có ` a^2 + b^2 \ge 2|ab|`
Thật vậy : ` a^2 + b^2 \ge 2|ab|`
` <=> a^2 – 2|ab| + b^2 \ge 0`
` <=> ( |a| – |b| )^2 \ge 0` (đúng)
Vậy ` a^2 + b^2 \ge 2|ab|`
CMTT ta có ` b^2 +c^2 \ge 2|bc| `
` c^2 + a^2 \ge 2|ac|`
` => 2(a^2+b^2+c^2) \ge 2(|ab| + |ac| + |bc|)`
` => a^2 +b^2+ c^2 \ge |ab| + |ac| + |bc| \ge |ab+ bc + ac|` (đpcm)
Đáp án+Giải thích các bước giải:
`a^2+b^2+c^2`
Áp dụng BĐT cosi ta có:
`a^2+b^2>=2|ab|`
`b^2+c^2>=2|bc|`
`c^2+a^2>=2|ac|`
`=>2(a^2+b^2+c^2)>=2(|ab|+|bc|+|ca|)`
`<=>a^2+b^2+c^2>=|ab|+|bc|+|ca|`
Áp dụng BĐT `|A|+|B|>=|A+B|`
`=>|ab|+|bc|>=|ab+bc|`
`=>|ab|+|bc|+|ca|>=|ab+bc|+|ca|>=|ab+bc+ca|`
`=>a^2+b^2+c^2>=|ab+bc+ca|(ĐPCM)`