Cho a,b,c là các số thực dương.Chứng minh rằng:
$\dfrac{a^2}{b+3c}+\dfrac{b^2}{c+3a}+\dfrac{c^2}{a+3b} ≥\dfrac{a+b+c}{4}$
Sử dụng bất đẳng thức Bunyakovsky nhoaaa
Cho a,b,c là các số thực dương.Chứng minh rằng:
$\dfrac{a^2}{b+3c}+\dfrac{b^2}{c+3a}+\dfrac{c^2}{a+3b} ≥\dfrac{a+b+c}{4}$
Sử dụng bất đẳng thức Bunyakovsky nhoaaa
Em dùng bất đẳng thức Bunyakovsky cộng mẫu, nó có tên khác là Svacxo hoặc Cauchy dạng Engel ạ !!!
Đáp án:
Theo bất đẳng thức Svacxo, ta có
` a^2/(b+3c) + b^2/(c+3a) + c^2/(a+3b) \ge ((a+b+c)^2)/(b+3c+c+3a+a+3b)`
` = ((a+b+c)^2)/(4(a+b+c)) = (a+b+c)/4` (đpcm)
Dấu `=` xảy ra khi ` a = b =c`
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Sử dụng bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức,ta có:
$\dfrac{a^2}{b+3c}+\dfrac{b^2}{c+3a}+\dfrac{c^2}{a+3b}≥\dfrac{(a+b+c)^2}{(b+3c)+(c+3a)+(a+3b)}=\dfrac{a+b+c}{4}$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\dfrac{a}{b+3c}=\dfrac{b}{c+3a}=\dfrac{c}{a+3b}⇔a=b=c$