Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:
$$\frac{x}{\sqrt{\sqrt[4]{y}+\sqrt[4]{z}}}+\frac{y}{\sqrt{\sqrt[4]{z}+\sqrt[4]{x}}}+\frac{z}{\sqrt{\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y}}}\geq \frac{\sqrt[4]{(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^7}}{\sqrt{2\sqrt{27}}}$$
Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:
$$\frac{x}{\sqrt{\sqrt[4]{y}+\sqrt[4]{z}}}+\frac{y}{\sqrt{\sqrt[4]{z}+\sqrt[4]{x}}}+\frac{z}{\sqrt{\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y}}}\geq \frac{\sqrt[4]{(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^7}}{\sqrt{2\sqrt{27}}}$$
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Đổi biến $(\sqrt[4]{x},\sqrt[4]{y}\sqrt[4]{z})=(a,b,c)$
Hay cần CM
$\sum_{cyc} \frac{a^4}{\sqrt{b+c}}\geq \frac{\sqrt[4]{(a^2+b^2+c^2)^7}}{\sqrt{2\sqrt{27}}}$
Áp dụng titu lemma, ta có
$LHS\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{\sum_{cyc} \sqrt{b+c}}$
Đặt $B=\sum_{cyc} \sqrt{b+c}$
Cần CM $B\leq \sqrt{2\sqrt{27}}.\sqrt[4]{(a^2+b^2+c^2)}$
Áp dụng C-S và $a+b+c\leq \sqrt{3(a^2+b^2+c^2}$ là xong
xảy ra khi $a=b=c$