cho a,b,c là các số thực dương. CMR: (a^2+b^2/a+b) + (b^2+c^2/b+c) + (a^2+c^2/a+c) =< 3(a^2+b^2+c^2)/(a+b+c)

Đáp án:

 áp dụng BDT Svacxơ ta có:

$\frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{b^2+c^2}{b+c}+\frac{a^2+c^2}{a+c}\geq \frac{2(a+b+c)^2}{2(a+b+c)}=\frac{(a+b+c)^2}{a+b+c}$
do đó ta cần chứng minh

  $\frac{(a+b+c)^2}{a+b+c}\leq \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c}$

$\Rightarrow (a+b+c)^2\leq 3(a^2+b^2+c^2)$

áp dụng BDT Svacxơ ta có:

$a^2+b^2+c^2=\frac{a^2}{1}+\frac{b^2}{1}+\frac{c^2}{1}\geq \frac{(a+b+c)^2}{1+1+1}=\frac{(a+b+c)^2}{3}$

$\Rightarrow 3(a^2+b^2+c^2)\geq (a+b+c)^2$ (điều phải chứng minh)