cho a,b,c là các số thực dương. CMR: (a^2+b^2/a+b) + (b^2+c^2/b+c) + (a^2+c^2/a+c) =< 3(a^2+b^2+c^2)/(a+b+c) 03/08/2021 Bởi Mackenzie cho a,b,c là các số thực dương. CMR: (a^2+b^2/a+b) + (b^2+c^2/b+c) + (a^2+c^2/a+c) =< 3(a^2+b^2+c^2)/(a+b+c)
Đáp án: áp dụng BDT Svacxơ ta có: $\frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{b^2+c^2}{b+c}+\frac{a^2+c^2}{a+c}\geq \frac{2(a+b+c)^2}{2(a+b+c)}=\frac{(a+b+c)^2}{a+b+c}$do đó ta cần chứng minh $\frac{(a+b+c)^2}{a+b+c}\leq \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c}$ $\Rightarrow (a+b+c)^2\leq 3(a^2+b^2+c^2)$ áp dụng BDT Svacxơ ta có: $a^2+b^2+c^2=\frac{a^2}{1}+\frac{b^2}{1}+\frac{c^2}{1}\geq \frac{(a+b+c)^2}{1+1+1}=\frac{(a+b+c)^2}{3}$ $\Rightarrow 3(a^2+b^2+c^2)\geq (a+b+c)^2$ (điều phải chứng minh) Bình luận
Đáp án:
áp dụng BDT Svacxơ ta có:
$\frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{b^2+c^2}{b+c}+\frac{a^2+c^2}{a+c}\geq \frac{2(a+b+c)^2}{2(a+b+c)}=\frac{(a+b+c)^2}{a+b+c}$
do đó ta cần chứng minh
$\frac{(a+b+c)^2}{a+b+c}\leq \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{a+b+c}$
$\Rightarrow (a+b+c)^2\leq 3(a^2+b^2+c^2)$
áp dụng BDT Svacxơ ta có:
$a^2+b^2+c^2=\frac{a^2}{1}+\frac{b^2}{1}+\frac{c^2}{1}\geq \frac{(a+b+c)^2}{1+1+1}=\frac{(a+b+c)^2}{3}$
$\Rightarrow 3(a^2+b^2+c^2)\geq (a+b+c)^2$ (điều phải chứng minh)