cho a b c là các số thực dương sao cho a+b+c+ab+bc+ca=6. CMR: a^2+b^2+c^2> 6 24/08/2021 Bởi Peyton cho a b c là các số thực dương sao cho a+b+c+ab+bc+ca=6. CMR: a^2+b^2+c^2> 6
Giải thích các bước giải: Ta có: $(a-1)^2+(b-1)^2+(c-1)^2+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\ge 0,\quad\forall a, b, c$ $\to (a^2-2a+1)+(b^2-2b+1)+(c^2-2c+1)+(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2)\ge 0$ $\to 3(a^2+b^2+c^2)-2(a+b+c+ab+bc+ca)+3\ge 0$ $\to 3(a^2+b^2+c^2)-2\cdot 6+3\ge 0$ $\to 3(a^2+b^2+c^2)-9\ge 0$ $\to 3(a^2+b^2+c^2)\ge 9$ $\to a^2+b^2+c^2\ge 3$ Bình luận
Giải thích các bước giải:
Ta có:
$(a-1)^2+(b-1)^2+(c-1)^2+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\ge 0,\quad\forall a, b, c$
$\to (a^2-2a+1)+(b^2-2b+1)+(c^2-2c+1)+(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2)\ge 0$
$\to 3(a^2+b^2+c^2)-2(a+b+c+ab+bc+ca)+3\ge 0$
$\to 3(a^2+b^2+c^2)-2\cdot 6+3\ge 0$
$\to 3(a^2+b^2+c^2)-9\ge 0$
$\to 3(a^2+b^2+c^2)\ge 9$
$\to a^2+b^2+c^2\ge 3$