Cho a,b,c là các số thực dương thoả abc $\geq$ 1 ‘Chứng“minh“răng“\frac{a^5-a^2}{a^5+b^2+c^2}`+`\frac{b^5-b^2}{b^5+c^2+a^2}`+`\frac{c^5-c^2}{c^5+a

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 BĐT đã cho tương đương:

$\dfrac{a^5-a^2}{a^5+b^2+c^2}-1+\dfrac{b^5-b^2}{b^5+c^2+a^2}-1+\dfrac{c^5-c^2}{c^5+a^2+b^2}-1 \geq 0-3$

$⇔\dfrac{a^2+b^2+c^2}{a^5+b^2+c^2}+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{b^5+a^2+c^2}+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{c^5+a^2+b^2} \leq 3$

Đặt $P=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{a^5+b^2+c^2}+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{b^5+a^2+c^2}+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{c^5+a^2+b^2}$

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:

$(a^5+b^2+c^2)\left(\dfrac{1}{a}+b^2+c^2 \right) \geq (a^2+b^2+c^2)^2$

$⇒\dfrac{a^2+b^2+c^2}{a^5+b^2+c^2} \leq \dfrac{\dfrac{1}{a}+b^2+c^2}{a^2+b^2+c^2}$

Hoàn toàn tương tự:

$\dfrac{a^2+b^2+c^2}{b^5+a^2+c^2} \leq \dfrac{\dfrac{1}{b}+a^2+c^2}{a^2+b^2+c^2}$

$\dfrac{a^2+b^2+c^2}{c^5+a^2+b^2} \leq \dfrac{\dfrac{1}{c}+a^2+b^2}{a^2+b^2+c^2}$

Cộng vế với vế:

$⇒P \leq \dfrac{\dfrac{1}{a}+b^2+c^2}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{\dfrac{1}{b}+a^2+c^2}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{\dfrac{1}{c}+a^2+b^2}{a^2+b^2+c^2}$

$⇔P \leq \dfrac{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+2(a^2+b^2+c^2)}{a^2+b^2+c^2}$

$⇔P \leq \dfrac{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}}{a^2+b^2+c^2}+2$

$⇔P \leq \dfrac{\dfrac{ab+bc+ca}{abc}}{a^2+b^2+c^2}+2$

$⇒P \leq \dfrac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}+2 \leq \dfrac{a^2+b^2+c^2}{a^2+b^2+c^2}+2=3$ (đpcm)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$