Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn: `a^2+b^2+c^2=3.` Chứng minh rằng:
`frac{2a^2}{a+b^2}+frac{2b^2}{b+c^2}+frac{2c^2}{c+a^2}\geqa+b+c`
Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn: `a^2+b^2+c^2=3.` Chứng minh rằng: `frac{2a^2}{a+b^2}+frac{2b^2}{b+c^2}+frac{2c^2}{c+a^2}\geqa+b+c`
By Hadley
Đáp án:
cách khác nếu bn cần , tuy có hơi dài 🙂
Ta có : `∑a <= \sqrt{3∑a^2} = \sqrt{3.3} = 3`
`VT = ∑ (2a^2)/(a + b^2) = ∑2a – ∑ (2ab^2)/(a + b^2) = 2∑a – ∑(2ab^2)/(a + b^2)`
Áp dụng BĐT ` Cô si` ta có
`a + b^2 ≥ 2\sqrt{ab^2} -> (2ab^2)/(a + b^2) ≤ (2ab^2)/(2\sqrt{ab^2}) = \sqrt{ab^2} = b\sqrt{a}`
`-> VT ≥ 2∑a – ∑b\sqrt{a}`
Nếu ta c/m đc `2∑a – ∑b\sqrt{a} ≥ ∑a (1) ` thì bài toán đc c/m
`(1) <=> ∑a ≥ ∑b\sqrt{a} (2)`
Đặt `(\sqrt{a} , \sqrt{b} , \sqrt{c}) = (x,y,z) (x,y,z > 0)`
thì việc c/m `(2) <=> ∑x^2 ≥ ∑xy^2`
Ta có
`∑x = ∑\sqrt{a} ≤ \sqrt{3(∑a)} ≤ \sqrt{3.3} = 3`
`-> 3∑x^2 ≥ (∑x)(∑x^2) = ∑x^3 + ∑xz^2 + ∑xy^2`
Áp dụng BĐT Cô si ta có
`x^3 + xz^2 ≥ 2\sqrt{x^3 . xz^2} = 2x^2z`
tương tự `-> ∑x^3 + ∑xz^2 ≥ ∑2xy^2`
`-> 3∑x^2 ≥ ∑xy^2 + ∑2xy^2 = ∑3xy^2`
`-> ∑x^2 ≥ ∑xy^2 (đpcm)`
Dấu “=” xảy ra `<=> a = b = c = 1`
Giải thích các bước giải:
Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta được
$a+b^2\le \dfrac{a^2+1}{2}+b^2=\dfrac{a^2+2b^2+1}{2}$
$\Rightarrow \dfrac{2a^2}{a+b^2}\ge \dfrac{4a^2}{a^2+2b^2+1}$
Chứng minh tương tự ta được:
$\dfrac{2a^2}{a+b^2}+\dfrac{2b^2}{b+c^2}+\dfrac{2c^2}{c+a^2}\ge \dfrac{4a^2}{a^2+2b^2+1}+\dfrac{4b^2}{b^2+2c^2+1}+\dfrac{4c^2}{c^2+2a^2+1}$
Áp dụng bất đẳng $Cauchy-Swarchz$ dạng Engel ta được:
$\dfrac{4a^2.a^2}{a^2.a^2+2a^2b^2+a^2}+\dfrac{4b^2.b^2}{b^2.b^2+2c^2b^2+b^2}+\dfrac{4c^2.c^2}{c^2.c^2+2a^2.c^2+c^2} \ge \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{(a^2+b^2+c^2)^2+a^2+b^2+c^2}=\dfrac{4.3^2}{3^2+3}=3$
Do đó $\dfrac{2a^2}{a+b^2}+\dfrac{2b^2}{b+c^2}+\dfrac{2c^2}{c+a^2}\ge \dfrac{4a^2}{a^2+2b^2+1}+\dfrac{4b^2}{b^2+2c^2+1}+\dfrac{4c^2}{c^2+2a^2+1}\ge 3$
Lại có $a+b+c\le \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}=3$
$\Rightarrow \dfrac{2a^2}{a+b^2}+\dfrac{2b^2}{b+c^2}+\dfrac{2c^2}{c+a^2}\ge a+b+c$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$