Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a + b = 4ab$. Chứng minh rằng:
$\dfrac{a}{4b^2 + 1} + \dfrac{b}{4a^2 + 1} \geq \dfrac{1}{2}$
Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a + b = 4ab$. Chứng minh rằng:
$\dfrac{a}{4b^2 + 1} + \dfrac{b}{4a^2 + 1} \geq \dfrac{1}{2}$
Đáp án + giải thích các bước giải:
Ta có:
`(a+b)^2>=4ab`
`->(a+b)^2>=a+b`
`->a+b>=1`
`->1<=4ab`
`->a/(4b^2+1)+b/(4a^2+1)>=a/(4b^2+4ab)+b/(4a^2+4ab)=a/(4b(a+b))+b/(4a(a+b))=a/(4b4ab)+b/(4a4ab)=a/(16ab^2)+b/(16a^2b)=1/(16b^2)+1/(16a^2)=(a^2+b^2)/(16a^2b^2)=(a^2+b^2)/(4ab)^2=(a^2+b^2)/(a+b)^2`
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:
`(a^2+b^2)/(a+b)^2>=(a^2+b^2)/(2(a^2+b^2))=1/2`
`->a/(4b^2+1)+b/(4a^2+1)>=1/2`
Dấu bằng xảy ra khi $ \left\{\begin{matrix} a=b\\a+b=4ab \end{matrix}\right. \rightarrow a=b=\dfrac{1}{2}$
Ta có : $a+b=4ab ≤ (a+b)^2$
$\to a+b ≥ 1$
Đặt $P = \dfrac{a}{4b^2+1} + \dfrac{b}{4a^2+1}$
$ = \dfrac{a^2}{4ab^2+a}+\dfrac{b^2}{4a^2b+b}$
$≥ \dfrac{(a+b)^2}{4ab^2+4ab^2+a+b}$ ( Svac – xơ )
$ = \dfrac{(a+b)^2}{(a+b).(4ab+1)} = \dfrac{a+b}{4ab+1}$
$ = \dfrac{a+b}{a+b+1} = 1 – \dfrac{1}{a+b+1} ≥ 1 – \dfrac{1}{1+1} = \dfrac{1}{2}$
Dấu “=” xảy ra $⇔a=b=\dfrac{1}{2}$
Vậy $Min$ $P = \dfrac{1}{2}$ khi $a=b=\dfrac{1}{2}$