Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a + b+ c = 3$ Chứng minh rằng
$\dfrac{a}{bc + 1} + \dfrac{b}{ac + 1} + \dfrac{c}{ab + 1} \geq \dfrac{3}{2}$
Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a + b+ c = 3$ Chứng minh rằng $\dfrac{a}{bc + 1} + \dfrac{b}{ac + 1} + \dfrac{c}{ab + 1} \geq \dfra
By Athena
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
$3=a+b+c≥3\sqrt[3]{abc}$
$⇒27abc≤27⇒abc≤1$
Do $a;b;c>0$ nên áp dụng $BĐT$ Nesbit ta có:
`VT=\frac{a^2}{abc+a}+\frac{b^2}{abc+b}+\frac{c}{abc+c}`
`≥\frac{(a+b+c)^2}{abc+a+abc+b+abc+c}`
`≥\frac{3^2}{3.1+3}=\frac{3}{2}(đpcm)`
Vậy bài toán được chứng minh. Dấu bằng xảy ra $⇔a=b=c=1$
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Đặt: $P=\dfrac{a}{bc+1}+\dfrac{b}{ac+1}+\dfrac{c}{ab+1}$
Có: $P=\dfrac{a^2}{abc+a}+\dfrac{b^2}{abc+b}+\dfrac{c^2}{abc+c}$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:
$P \geq \dfrac{(a+b+c)^2}{3abc+a+b+c}=\dfrac{9}{3abc+3}=\dfrac{3}{abc+1}$ $(1)$
Dấu “=” xảy ra khi $a=b=c=1$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương ta có:
`abc \leq (\frac{a+b+c}{3})^3=(\frac{3}{3})^3=1`
Dấu “=” xảy ra khi $a=b=c=1$
Từ đó suy ra: $abc+1 \leq 1+1=2$ $(2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $P \geq \dfrac{3}{2}$ (đpcm)
Dấu “=” xảy ra khi $a=b=c=1$