Cho $a;b;c$ là các số thực dương thoả mãn $a+b+c=3$. Tìm GTNN của biểu thức $P=$$\dfrac{a}{1+b^2}+$ $\dfrac{b}{1+c^2}+$ $\dfrac{c}{1+a^2}$. Em cảm ơn

Bởi

Cho $a;b;c$ là các số thực dương thoả mãn $a+b+c=3$.
Tìm GTNN của biểu thức $P=$$\dfrac{a}{1+b^2}+$ $\dfrac{b}{1+c^2}+$ $\dfrac{c}{1+a^2}$.
Em cảm ơn ạ!

0 bình luận về “Cho $a;b;c$ là các số thực dương thoả mãn $a+b+c=3$. Tìm GTNN của biểu thức $P=$$\dfrac{a}{1+b^2}+$ $\dfrac{b}{1+c^2}+$ $\dfrac{c}{1+a^2}$. Em cảm ơn”

  2. Đáp án: $P_{min}=1,5⇔a=b=c=1$

    Giải thích các bước giải:

    Anh/chị tự chứng minh bất đẳng thức sau: 

    $(x+y+z)^2≥3(xy+yz+xz) ∀x;y;z(*)$

    Dấu bằng xảy ra $⇔x=y=z$

    Trở lại bài toán:

    Ta có:

    `\frac{a}{1+b^2}=\frac{(ab^2+a)-ab^2}{1+b^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}`

    `≥a-\frac{ab^2}{2\sqrt{1.b^2}}=a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}`

    Chứng minh tương tự:

    `\frac{b}{1+c^2}≥b-\frac{bc}{2}`

    `\frac{c}{1+a^2}≥c-\frac{ac}{2}`

    `⇒P=\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}`

    `≥(a+b+c)-(\frac{ab}{2}+\frac{bc}{2}+\frac{ac}{2})`

    `=3-\frac{3(ab+bc+ca)}{6}`

    `≥3-\frac{(a+b+c)^2}{6}` (áp dụng $(*)$)

    `=3-\frac{3^2}{6}=\frac{3}{2}`

    Dấu bằng xảy ra $⇔a=b=c=1$

    Bình luận

Viết một bình luận