Cho `a,b,c` là các số thực không âm thỏa mãn `a^2 + b^2 + c^2 = 1` CMR : `1/(1-ab) + 1/(1-bc) + 1/(1-ca) ≤ 9/2`

Ta có:

`\qquad 1/{1-ab}+1/{1-bc}+1/{1-ca}`

`=(1/{1-ab}-1)+(1/{1-bc}-1)+(1/{1-ca}-1)+3`

`={ab}/{1-ab}+{bc}/{1-bc}+{ca}/{1-ca}+3`

$\\$

`\qquad {ab}/{1-ab}={2ab}/{2(a^2+b^2+c^2)-2ab}`

`={2ab}/{a^2+b^2+2c^2+(a-b)^2}`

`\le {2ab}/{a^2+b^2+2c^2}` (do `(a-b)^2\ge 0` với mọi `a;b`)

`=> {2ab}/{1-ab}\le {4ab}/{(a^2+b^2+2c^2)}`

`\le {(a+b)^2}/{a^2+b^2+2c^2}` (do $4ab\le (a+b)^2$ với mọi $a;b$)

Áp dụng $BĐT$ Bunhiacopxki dạng phân thức ta có:

`\qquad {a^2}/{a^2+c^2}+{b^2}/{b^2+c^2}\ge {(a+b)^2}/{a^2+b^2+2c^2}`

`=>{a^2}/{a^2+c^2}+{b^2}/{b^2+c^2}\ge {2ab}/{1-ab}`

`=>{ab}/{1-ab}\le 1/ 2 {a^2}/{a^2+c^2}+1/ 2 {b^2}/{b^2+c^2}`

$\\$

Tương tự chứng minh được:

`\qquad {bc}/{1-bc}\le 1/ 2 {b^2}/{b^2+a^2}+1/ 2 {c^2}/{c^2+a^2}`

`\qquad {ca}/{1-ca}\le 1/ 2 {c^2}/{c^2+b^2}+1/ 2 {a^2}/{a^2+b^2}`

`=>{ab}/{1-ab}+{bc}/{1-bc}+{ca}/{1-ca}+3`

`\le 1/ 2 {a^2+c^2}/{a^2+c^2}+1/ 2 {b^2+c^2}/{b^2+c^2}+ 1/ 2 {a^2+b^2}/{a^2+b^2}+3`

`\le 1/ 2 .3+3=9/ 2`

Vậy `1/{1-ab}+1/{1-bc}+1/{1-ca}\le 9/ 2`

Dấu “=” xảy ra khi: `a=b=c=\sqrt{3}/{3}`