Cho a,b,c là các số thực sao cho a+b+c+ab+bc+ca=6 Chứng minh a^2+b^2+c^2 ≥6 10/11/2021 Bởi Liliana Cho a,b,c là các số thực sao cho a+b+c+ab+bc+ca=6 Chứng minh a^2+b^2+c^2 ≥6
Đáp án: Giải thích các bước giải: Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có: $\begin{cases}a^2+b^2\ge2ab\\b^2+c^2\ge2bc\\c^2+a^2\ge2ca\end{cases}$ Cộng vế theo vế ta được: $a^2+b^2+b^2+c^2+c^2+a^2\ge 2ab+2bc+2ca$ $2{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}+2{{c}^{2}}\ge 2ab+2bc+2ca\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$ Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có: $\begin{cases} a^2+1 \ge 2a\\b^2+1\ge 2b\\c^2+1\ge 2c\end{cases}$ Cộng vế theo vế, ta được: $a^2+1+b^2+1+c^2+1 \ge 2a+2b+2c$ $\to {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+3\ge 2a+2b+2c\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$ Lấy $\left( 1 \right)+\left( 2 \right)$, ta được: $3{{a}^{2}}+3{{b}^{2}}+3{{c}^{2}}+3\ge 2\left( a+b+c+ab+bc+ca \right)$ $\to 3\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+1 \right)\ge 2.6$ $\to 3\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+1 \right)\ge 12$ $\to {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+1\ge 4$ $\to {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ge 3$ Dấu $”=”$ xảy ra khi và chỉ khi $\begin{cases}a=b\\b=c\\c=a\\a=1\\b=1\\c=1\end{cases}\Leftrightarrow a=b=c=1$ Bình luận
Cách Làm Dự đoán dấu bằng sảy ra khi `a=b=c=1.` Ta có cách giải như sau: Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: `a²+b²≥2ab,b²+c²≥2bc,c²+a²≥2ac,a²+1≥2a,b²+1≥2b,c²+1≥2c.` Cộng 6 bất đẳng thức cùng chiều ta suy ra: `3.(a²+b²+c²)+3≥2.(ab+bc+ca+a+b+c)=12⇒a²+b²+c²≥3` Dấu bằng sảy ra` ⇔a=b=c=1` Bình luận
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có:
$\begin{cases}a^2+b^2\ge2ab\\b^2+c^2\ge2bc\\c^2+a^2\ge2ca\end{cases}$
Cộng vế theo vế ta được:
$a^2+b^2+b^2+c^2+c^2+a^2\ge 2ab+2bc+2ca$
$2{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}+2{{c}^{2}}\ge 2ab+2bc+2ca\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$
Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có:
$\begin{cases} a^2+1 \ge 2a\\b^2+1\ge 2b\\c^2+1\ge 2c\end{cases}$
Cộng vế theo vế, ta được:
$a^2+1+b^2+1+c^2+1 \ge 2a+2b+2c$
$\to {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+3\ge 2a+2b+2c\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$
Lấy $\left( 1 \right)+\left( 2 \right)$, ta được:
$3{{a}^{2}}+3{{b}^{2}}+3{{c}^{2}}+3\ge 2\left( a+b+c+ab+bc+ca \right)$
$\to 3\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+1 \right)\ge 2.6$
$\to 3\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+1 \right)\ge 12$
$\to {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+1\ge 4$
$\to {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ge 3$
Dấu $”=”$ xảy ra khi và chỉ khi
$\begin{cases}a=b\\b=c\\c=a\\a=1\\b=1\\c=1\end{cases}\Leftrightarrow a=b=c=1$
Cách Làm
Dự đoán dấu bằng sảy ra khi `a=b=c=1.` Ta có cách giải như sau:
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
`a²+b²≥2ab,b²+c²≥2bc,c²+a²≥2ac,a²+1≥2a,b²+1≥2b,c²+1≥2c.`
Cộng 6 bất đẳng thức cùng chiều ta suy ra:
`3.(a²+b²+c²)+3≥2.(ab+bc+ca+a+b+c)=12⇒a²+b²+c²≥3`
Dấu bằng sảy ra` ⇔a=b=c=1`