Toán Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh ∆. Chứng minh ab+bc+ca ≤ a²+b²+c² < 2(ab+bc+ca) 22/07/2021 By Liliana Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh ∆. Chứng minh ab+bc+ca ≤ a²+b²+c² < 2(ab+bc+ca)
Với mọi số thực ta luôn có: `(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2>=0` `<=>a^2+b^2-2ab+b^2+c^2-bc+c^2+a^2-2ca>=0` `<=>2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)>=0` `<=>2(a^2+b^2+c^2)>=2(ab+bc+ca)` `<=>a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca(1)` Áp dụng BĐT trong tam giác ta có: `a+b>c=>ac+bc>c^2` `b+c>a=>ab+ac>a^2` `a+c>=>ab+bc>b^2` Cộng từng vế các BĐT trên ta có: `a^2+b^2+c^2<2(ab+bc+ca)(2)` Từ `(1)(2)=>ab+bc+ca<=a^2+b^2+c^2<2(ab+bc+ca)`. Trả lời
Đáp án: Ta có : `(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2>=0` `<=> a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ac+a^2>=0` `<=> 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac>=0` `<=> 2(a^2+b^2+c^2)>=2(ab+bc+ca)` `<=> a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca \ \ \ \ (1)` $\\$ Ta có : $\begin{cases}a+b>c\\b+c>a\\c+a>b\end{cases}$ (BĐT trong `Delta`) `to `$\begin{cases}ac+bc>c^2\\ba+ca>a^2\\cb+ab>b^2\end{cases}$ `to ac+bc+ba+ca+cb+ab>c^2+a^2+b^2` `to 2(ac+bc+ab)>a^2+b^2+c^2 \ \ \ \ (2)` Từ `(1)` và `(2) \ \ to ab+bc+ca<=a^2+b^2+c^2<2(ac+bc+ab)` Trả lời
Với mọi số thực ta luôn có:
`(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2>=0`
`<=>a^2+b^2-2ab+b^2+c^2-bc+c^2+a^2-2ca>=0`
`<=>2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)>=0`
`<=>2(a^2+b^2+c^2)>=2(ab+bc+ca)`
`<=>a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca(1)`
Áp dụng BĐT trong tam giác ta có:
`a+b>c=>ac+bc>c^2`
`b+c>a=>ab+ac>a^2`
`a+c>=>ab+bc>b^2`
Cộng từng vế các BĐT trên ta có:
`a^2+b^2+c^2<2(ab+bc+ca)(2)`
Từ `(1)(2)=>ab+bc+ca<=a^2+b^2+c^2<2(ab+bc+ca)`.
Đáp án:
Ta có : `(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2>=0`
`<=> a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ac+a^2>=0`
`<=> 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac>=0`
`<=> 2(a^2+b^2+c^2)>=2(ab+bc+ca)`
`<=> a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca \ \ \ \ (1)`
$\\$
Ta có : $\begin{cases}a+b>c\\b+c>a\\c+a>b\end{cases}$ (BĐT trong `Delta`)
`to `$\begin{cases}ac+bc>c^2\\ba+ca>a^2\\cb+ab>b^2\end{cases}$
`to ac+bc+ba+ca+cb+ab>c^2+a^2+b^2`
`to 2(ac+bc+ab)>a^2+b^2+c^2 \ \ \ \ (2)`
Từ `(1)` và `(2) \ \ to ab+bc+ca<=a^2+b^2+c^2<2(ac+bc+ab)`