Cho `a,b,c` là độ dài `3` cạnh `Δ` có chu vi bằng `2`. Tính GTNN của `P=4(a^3+b^3+c^3)+15abc` 23/08/2021 Bởi Arianna Cho `a,b,c` là độ dài `3` cạnh `Δ` có chu vi bằng `2`. Tính GTNN của `P=4(a^3+b^3+c^3)+15abc`
Đáp án: Áp dụngBĐT `schur` ta có : `a^3 + b^3 + c^3 + 3abc >= ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a)` `-> 4(a^3 + b^3 + c^3) + 15abc >= a^3 + b^3 + c^3 + 3ab(a+ b) + 3bc(b + c) + 3ca(c + a) + 6abc = (a + b + c)^3 = 2^3 = 8` Dấu “=” xảy ra `<=> a = b = c = 2/3` Vậy `……..` Giải thích các bước giải: Bình luận
ta có :`a^3+b^3≥ab(a+b)` `a^3+c^3≥ac(a+c)` `b^3+c^3≥bc(b+c)` `⇒2(a^3+b^3+c^3)≥ab(a+b)+ac(a+c)+bc(b+c)(1)` vì abc là độ dài 3 cạnh `⇒abc≥(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)` `⇒3abc≥3(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)(2)` từ `(1);(2)` `⇒a^3+b^3+c^3+3abc≥ab(a+b)+ac(a+c)+bc(b+c)` `⇒3a^3+3b^3+3c^3+9abc≥3ab(a+b)+3ac(a+c)+3bc(b+c)` `⇒4(a^3+b^3+c^3)+15abc≥a^3+b^3+c^3+3ab(a+b)+3ac(a+c)+3bc(b+c)+6abc` `⇒P≥(a+b+c)^3=2^3=8` `”=”` xẩy ra khi : `a=b=c=2/3` vậy `minP=8 `khi `a=b=c=2/3` Bình luận
Đáp án:
Áp dụngBĐT `schur` ta có :
`a^3 + b^3 + c^3 + 3abc >= ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a)`
`-> 4(a^3 + b^3 + c^3) + 15abc >= a^3 + b^3 + c^3 + 3ab(a+ b) + 3bc(b + c) + 3ca(c + a) + 6abc = (a + b + c)^3 = 2^3 = 8`
Dấu “=” xảy ra `<=> a = b = c = 2/3`
Vậy `……..`
Giải thích các bước giải:
ta có :`a^3+b^3≥ab(a+b)`
`a^3+c^3≥ac(a+c)`
`b^3+c^3≥bc(b+c)`
`⇒2(a^3+b^3+c^3)≥ab(a+b)+ac(a+c)+bc(b+c)(1)`
vì abc là độ dài 3 cạnh
`⇒abc≥(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)`
`⇒3abc≥3(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)(2)`
từ `(1);(2)`
`⇒a^3+b^3+c^3+3abc≥ab(a+b)+ac(a+c)+bc(b+c)`
`⇒3a^3+3b^3+3c^3+9abc≥3ab(a+b)+3ac(a+c)+3bc(b+c)`
`⇒4(a^3+b^3+c^3)+15abc≥a^3+b^3+c^3+3ab(a+b)+3ac(a+c)+3bc(b+c)+6abc`
`⇒P≥(a+b+c)^3=2^3=8`
`”=”` xẩy ra khi :
`a=b=c=2/3`
vậy `minP=8 `khi `a=b=c=2/3`