Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. CMR: a ² + b ² + c ² < 2 ( ab + bc + ca )

0 bình luận về “Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. CMR: a ² + b ² + c ² < 2 ( ab + bc + ca )”

1. Vì $a,b,c$ là độ dài $3$ cạnh của $1$ tam giác:

   $⇒a<b+c⇒a^2<a(b+c)$ $(1)$

   $b<a+c⇒b^2<b(a+c)$ $(2)$

   $c<a+b⇒c^2<c(a+b)$ $(3)$

   $(1)+(2)+(3)=a^2+b^2+c^2<a(b+c)+b(a+c)+c(a+b)$

   $⇔a^2+b^2+c^2<2(ab+bc+ca)$ $(Đpcm)$.

   Bình luận

2. Đáp án:

    Ta có bất đẳng thức tam giác :

   a < b + c

   b < a + c

   c < a + b

   Khi đó :

   ⇒ a.a < a ( b + c )

   ⇒ b.b < b ( a + c )

   ⇒ c.c < c ( a + b )

   Suy ra :

   ⇒ a² < ab + ac

   ⇒ b² < ab + bc

   ⇒ c² < ac + bc

   Mà :

   a² + b² + c² < ab + ac + ab + bc + ac + bc

   a² + b² + c² < 2ab + 2ac + 2bc

   a² + b² + c² < 2 ( ab + ac + bc )   ( đpcm )

    

   Bình luận