Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác.
Chứng minh :
`ab + bc + ca ≤ a²+ b²+ c²< 2(ab + bc + ca ).`
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh : `ab + bc + ca ≤ a²+ b²+ c²< 2(ab + bc + ca ).`
By Mackenzie
By Mackenzie
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác.
Chứng minh :
`ab + bc + ca ≤ a²+ b²+ c²< 2(ab + bc + ca ).`
Phụ huynh gặp khó khăn cân bằng công việc và dạy con chương trình mới. Hãy để dịch vụ gia sư của chúng tôi giúp bạn giảm bớt áp lực, cung cấp kiến thức chuyên sâu và hỗ trợ con bạn học tập hiệu quả.
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
`+)`
`a^2+b^2+c^2>=ab+ac+bc`
`<=>2a^2+2b^2+2c^2>=2ab+2ac+2bc`
`<=>2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc>=0`
`<=>(a-b)^2 +(b-c)^2 +(c-a)^2>=0` Luôn đúng với `∀a,b,c`
Dấu `=` xảy ra `<=>a=b=c`
`+)2(ab+bc+ca)>a^2+b^2+c^2`
Áp dụng BĐT trong tam giác
`b+c>a`
`=>a(b+c)>a^2`
`=>ab+ac>a^2`
Chứng minh tương tự
`=>bc+ca>=c^2,ab+bc>=b^2`
`=>(ab+ac)+(bc+ca)+(ab+bc)>=a^2+c^2+b^2`
`=>2(ab+bc+ca)>a^2+b^2+c^2`
Vậy `ab+bc+ca<=a^2+b^2+c^2<2(ab+bc+ca)` với `a,b,c` là độ dài `3` cạnh tam giác
Vì a, b, c là 3 cạnh của một tam giác nên: $a,b,c > 0$
Ta có: $(a – b)² ≥ 0$
$⇔ a² – 2ab + b² ≥ 0$
$⇔ a² + b² ≥ 2ab$
Chứng minh tương tự ta có: $b² + c² ≥ 2bc$ ; $a² + c² ≥ 2ac$
Cộng 3 vế, ta được:
$a² + b² + b² + c² + a² + c² ≥2ab + 2bc + 2ac$
$⇔ 2(a² + b² + c²) ≥ 2(ab + bc + ac)$
$⇔ a² + b² + c² ≥ ab + bc + ac$
Ta tiếp tục xét:
$a < b + c$ ( Tính chất 3 cạnh trong tam giác)
$⇔ a² < a(b + c)$ ( $a > 0$ nên nhân vào ko đổi dấu )
$⇔ a² < ab + ac$
Chứng minh tương tự ta được: $b² < bc + ab$ ; $c² < ac + bc$
Cộng 3 vế, ta được:
$a² + b² + c² < ab + ac + bc + ab + ac + bc$
$⇔ a² + b² + c² < 2(ab + bc + ac)$
Vậy $ab + bc + ac ≤ a² + b² + c² < 2(ab + bc + ac)$