cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác chứng minh rằng a^3(b^2-c^2)+b^3(c^2-a^2)+c^3(a^2-b^2)>=0

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Không mất tổng quát, giả sử $a≥b≥c>0⇒\begin{cases}a-b≥0\\b-c≥0\\a-c≥0\end{cases}$

Ta có: $a^3(b^2-c^2)+b^3(c^2-a^2)+c^3(a^2-b^2)$

$=a^3(b-c)(b+c)+b^3c^2-a^2b^3+a^2c^3-b^2c^3$

$=(b-c)(a^3b+a^3c)+b^2c^2(b-c)-a^2(b^3-c^3)$

$=(b-c)(a^3b+a^3c)+b^2c^2(b-c)-a^2(b-c)(b^2+bc+c^2)$

$=(b-c)(a^3b+a^3c)+b^2c^2(b-c)-(b-c)(a^2b^2+a^2bc+a^2c^2)$

$=(b-c)(a^3b+a^3c+b^2c^2-a^2b^2-a^2bc-a^2c^2)$

$=(b-c)[a^2b(a-b)+a^2c(a-b)-c^2(a^2-b^2)]$

$=(b-c)[a^2b(a-b)+a^2c(a-b)-c^2(a-b)(a+b)]$

$=(b-c)[a^2b(a-b)+a^2c(a-b)-(a-b)(ac^2+bc^2)]$

$=(b-c)(a-b)(a^2b+a^2c-ac^2-bc^2)$

$=(b-c)(a-b)[b(a^2-c^2)+ac(a-c)]$

$=(b-c)(a-b)[b(a-c)(a+c)+ac(a-c)]$

$=(b-c)(a-b)[(a-c)(ab+bc)+ac(a-c)]$

$=(a-b)(a-c)(b-c)(ab+bc+ac)≥0(đpcm)$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tam giác đó là tam giác đều.