Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác. CMR: 1/(a^2+bc)+1/(b^2+ac)+1/(c^2+ab) ≤ (a+b+c)/(2abc) 12/11/2021 Bởi Arianna Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác. CMR: 1/(a^2+bc)+1/(b^2+ac)+1/(c^2+ab) ≤ (a+b+c)/(2abc)
Đặt `A=1/(a^2+bc)+1/(b^2+ac)+1/(c^2+ab)` `\text{Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số dương ta có:}` `a^2+bc>=2\sqrt{a^2. bc}=2a\sqrt{bc}` `b^2+ac>=2\sqrt{b^2 .ac}=2b\sqrt{ac}` `c^2+ab>=2\sqrt{c^2. ab}=2c\sqrt{ab}` `=> 1/(a^2+bc)<=1/(2a\sqrt{bc})` `1/(b^2+ac)<=1/(2b\sqrt{ac})` `1/(c^2+ab)<=1/(2c\sqrt{ab})` `=> A<=1/(2a\sqrt{bc})+1/(2b\sqrt{ac})+1/(2c\sqrt{ab})` `A<=(bc\sqrt{ac.ab}+ac\sqrt{bc.ab}+ab\sqrt{bc.ac})/(2abc.\sqrt{(abc)^2})` `A<=(abc\sqrt{bc}+abc\sqrt{ac}+abc\sqrt{ab})/(2(abc)^2)` `A<=(\sqrt{bc}+\sqrt{ac}+\sqrt{ab})/(2abc)` Mặt khác `\sqrt{bc}<=(b+c)/2; \sqrt{ac}<=(c+a)/2 ; \sqrt{ab}<=(a+b)/2` `=> A<=((2(a+b+c))/2)/(2abc)` `A<=(a+b+c)/(2abc)` (đpcm) Bình luận
Vì $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh của một tam giác ⇒ $a,b,c > 0$Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương ta có: $a^2 + bc \geq 2 \sqrt{a^2bc}$ ⇔ $\dfrac{1}{a^2 + bc} \leq \dfrac{1}{2a\sqrt{bc}}$ ⇔ $\dfrac{1}{a^2 + bc} \leq \dfrac{2\sqrt{bc}}{2abc}$ Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số không âm ta có: $b + c \geq 2\sqrt{bc}$ Do đó: $\dfrac{1}{a^2 + bc} \leq \dfrac{b + c}{2abc}(1)$ Chứng minh tương tự ta có: $\dfrac{1}{b^2 + ac} \leq \dfrac{a + c}{2abc}(2)$ $\dfrac{1}{c^2 + ab} \leq \dfrac{a +b}{2abc}(3)$ Cộng vế với vế (1), (2) và (3) ta được $\dfrac{1}{a^2 + bc} + \dfrac{1}{b^2 + ac} + \dfrac{1}{c^2 + ab} \leq \dfrac{b + c}{2abc} + \dfrac{a + c}{2abc} + \dfrac{a +b}{2abc}$ ⇔ $\dfrac{1}{a^2 + bc} + \dfrac{1}{b^2 + ac} + \dfrac{1}{c^2 + ab} \leq \dfrac{2(a + b +c)}{2abc}$ ⇔ $\dfrac{1}{a^2 + bc} + \dfrac{1}{b^2 + ac} + \dfrac{1}{c^2 + ab} \leq \dfrac{a + b +c}{abc}$ Bình luận
Đặt `A=1/(a^2+bc)+1/(b^2+ac)+1/(c^2+ab)`
`\text{Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số dương ta có:}`
`a^2+bc>=2\sqrt{a^2. bc}=2a\sqrt{bc}`
`b^2+ac>=2\sqrt{b^2 .ac}=2b\sqrt{ac}`
`c^2+ab>=2\sqrt{c^2. ab}=2c\sqrt{ab}`
`=> 1/(a^2+bc)<=1/(2a\sqrt{bc})`
`1/(b^2+ac)<=1/(2b\sqrt{ac})`
`1/(c^2+ab)<=1/(2c\sqrt{ab})`
`=> A<=1/(2a\sqrt{bc})+1/(2b\sqrt{ac})+1/(2c\sqrt{ab})`
`A<=(bc\sqrt{ac.ab}+ac\sqrt{bc.ab}+ab\sqrt{bc.ac})/(2abc.\sqrt{(abc)^2})`
`A<=(abc\sqrt{bc}+abc\sqrt{ac}+abc\sqrt{ab})/(2(abc)^2)`
`A<=(\sqrt{bc}+\sqrt{ac}+\sqrt{ab})/(2abc)`
Mặt khác `\sqrt{bc}<=(b+c)/2; \sqrt{ac}<=(c+a)/2 ; \sqrt{ab}<=(a+b)/2`
`=> A<=((2(a+b+c))/2)/(2abc)`
`A<=(a+b+c)/(2abc)` (đpcm)
Vì $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh của một tam giác
⇒ $a,b,c > 0$
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương ta có:
$a^2 + bc \geq 2 \sqrt{a^2bc}$
⇔ $\dfrac{1}{a^2 + bc} \leq \dfrac{1}{2a\sqrt{bc}}$
⇔ $\dfrac{1}{a^2 + bc} \leq \dfrac{2\sqrt{bc}}{2abc}$
Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số không âm ta có:
$b + c \geq 2\sqrt{bc}$
Do đó: $\dfrac{1}{a^2 + bc} \leq \dfrac{b + c}{2abc}(1)$
Chứng minh tương tự ta có: $\dfrac{1}{b^2 + ac} \leq \dfrac{a + c}{2abc}(2)$
$\dfrac{1}{c^2 + ab} \leq \dfrac{a +b}{2abc}(3)$
Cộng vế với vế (1), (2) và (3) ta được
$\dfrac{1}{a^2 + bc} + \dfrac{1}{b^2 + ac} + \dfrac{1}{c^2 + ab} \leq \dfrac{b + c}{2abc} + \dfrac{a + c}{2abc} + \dfrac{a +b}{2abc}$
⇔ $\dfrac{1}{a^2 + bc} + \dfrac{1}{b^2 + ac} + \dfrac{1}{c^2 + ab} \leq \dfrac{2(a + b +c)}{2abc}$
⇔ $\dfrac{1}{a^2 + bc} + \dfrac{1}{b^2 + ac} + \dfrac{1}{c^2 + ab} \leq \dfrac{a + b +c}{abc}$