Cho a , b ,c là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông ( c là độ dài cạnh huyền ) . Chứng minh rằng
a^2020+b^2020
Cho a , b ,c là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông ( c là độ dài cạnh huyền ) . Chứng minh rằng
a^2020+b^2020
Đáp án:
Do a,b,c là cạnh của 1 tam giác vuông với c là cạnh huyền
Theo Pytago ta có: ${a^2} + {b^2} = {c^2}$
Ta có:
$\begin{array}{l}
{c^{2020}} = {c^{2.1010}} = {\left( {{c^2}} \right)^{1010}}\\
= {\left( {{a^2} + {b^2}} \right)^{1010}}\\
= {a^{2020}} + {a^{2019}}.b + {a^{2018}}.{b^2} + … + a.{b^{2019}} + {b^{2020}}\\
= {a^{2020}} + {b^{2020}} + {a^{2019}}.b + {a^{2018}}.{b^2} + … + a.{b^{2019}}\\
Do:a,b > 0\\
\Rightarrow {a^{2019}}.b + {a^{2018}}.{b^2} + … + a.{b^{2019}} > 0\\
\Rightarrow {a^{2020}} + {b^{2020}} + {a^{2019}}.b + {a^{2018}}.{b^2} + … + a.{b^{2019}}\\
> {a^{2020}} + {b^{2020}}\\
\Rightarrow {c^{2020}} > {a^{2020}} + {b^{2020}}\\
Vậy\,{a^{2020}} + {b^{2020}} < {c^{2020}}
\end{array}$