Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. CMR: (a^2+b^2-c^2)/2ab+(b^2+c^2-a^2)/2bc+(c^2+a^2-b^2)/2ca>1

0 bình luận về “Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. CMR: (a^2+b^2-c^2)/2ab+(b^2+c^2-a^2)/2bc+(c^2+a^2-b^2)/2ca>1”

1. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải:

   a) Vì a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác

   ⇒ a + c > b và a + b > c (Bất đẳng thức tam giác)

   ⇒ a + c – b > 0 và a + b – c > 0

   Ta có: (b – c)2 < a2

   ⇔ a2 – (b – c)2 > 0

   ⇔ (a – (b – c))(a + (b – c)) > 0

   ⇔ (a – b + c).(a + b – c) > 0 (Luôn đúng vì a + c – b > 0 và a + b – c > 0).

   Vậy ta có (b – c)2 < a2 (1) (đpcm)

   b) Chứng minh tương tự phần a) ta có :

   ( a – b)2 < c2 (2)

   (c – a)2 < b2 (3)

   Cộng ba bất đẳng thức (1), (2), (3) ta có:

   (b – c)2 + (c – a)2 + (a – b)2 < a2 + b2 + c2

   ⇒ b2 – 2bc + c2 + c2 – 2ca + a2 + a2 – 2ab + b2 < a2 + b2 + c2

   ⇒ 2(a2 + b2 + c2) – 2(ab + bc + ca) < a2 + b2 + c2

   ⇒ a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) (đpcm).

   Bình luận