Toán cho a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác có chu vi bằng 2 CMR: a^2+b^2+c^2+2abc<2 15/07/2021 By Rose cho a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác có chu vi bằng 2 CMR: a^2+b^2+c^2+2abc<2
`CM`bất đẳng thức phụ với `x;y;z<1` và `x+y+z=2` `zx+xy+zy>1+xyz` `⇔1+zx+xy+zy>x+y+z+zyx` `⇔1+zx+xy+zy-x-y-z-xyz>0` `⇔(1-z)(1-x)(1-y)>0` điều hiển nhiên ta có : `a+b>c` `⇔a+b+c>2c` `⇔2>2c` `⇔1>c` tương tự : `⇒1>a` và `1>b` mà `a+b+c=2` áp dụng bất đẳng thức phụ vào `⇒ab+bc+ac>1+abc` `⇔a^2+b^2+c^2+2abc+2<2(ab+bc+ac)+a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2=4` `⇔a^2+b^2+c^2+2abc<2` Trả lời
Ta có: $a + b > c$ $⇔ a + b + c > 2c $ $⇔ 2 > 2c $ $⇔ 1 > c $ $⇔ 1 – c > 0$ Chứng minh tương tự, ta được: $1 – b > 0$ ; $1 – c > 0$ Nhân 3 vế, ta được: $(1 – a)(1 – b)(1 – c) > 0$ $⇔ (1 – b – a + ab)(1 – c) > 0$ $⇔ 1 – c – b + bc – a + ac + ab – abc > 0$ $⇔1 + ab + ac + bc – (a + b + c) > abc$ $⇔ ab + ac + bc > abc + 1$ $⇔ 2ab + 2ac + 2bc > 2abc + 2$ $⇔ a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc > 2abc + 2 + a² + b² + c²$ $⇔ (a + b + c)² > 2abc + 2 + a² + b² + c²$ $⇔ 2abc + a² + b² + c² < 2² – 2$ $⇔ 2abc + a² + b² + c² < 2$ (đpcm) Trả lời
`CM`bất đẳng thức phụ với `x;y;z<1`
và `x+y+z=2`
`zx+xy+zy>1+xyz`
`⇔1+zx+xy+zy>x+y+z+zyx`
`⇔1+zx+xy+zy-x-y-z-xyz>0`
`⇔(1-z)(1-x)(1-y)>0` điều hiển nhiên
ta có :
`a+b>c`
`⇔a+b+c>2c`
`⇔2>2c`
`⇔1>c`
tương tự :
`⇒1>a`
và `1>b`
mà `a+b+c=2`
áp dụng bất đẳng thức phụ vào
`⇒ab+bc+ac>1+abc`
`⇔a^2+b^2+c^2+2abc+2<2(ab+bc+ac)+a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2=4`
`⇔a^2+b^2+c^2+2abc<2`
Ta có:
$a + b > c$
$⇔ a + b + c > 2c $
$⇔ 2 > 2c $
$⇔ 1 > c $
$⇔ 1 – c > 0$
Chứng minh tương tự, ta được: $1 – b > 0$ ; $1 – c > 0$
Nhân 3 vế, ta được:
$(1 – a)(1 – b)(1 – c) > 0$
$⇔ (1 – b – a + ab)(1 – c) > 0$
$⇔ 1 – c – b + bc – a + ac + ab – abc > 0$
$⇔1 + ab + ac + bc – (a + b + c) > abc$
$⇔ ab + ac + bc > abc + 1$
$⇔ 2ab + 2ac + 2bc > 2abc + 2$
$⇔ a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc > 2abc + 2 + a² + b² + c²$
$⇔ (a + b + c)² > 2abc + 2 + a² + b² + c²$
$⇔ 2abc + a² + b² + c² < 2² – 2$
$⇔ 2abc + a² + b² + c² < 2$ (đpcm)