Cho $a,b,c$ là số dương thay đổi và luôn thỏa mãn $ab + bc + ca = 3abc$. Tính giá trị lớn nhất của biểu thức $\dfrac{1}{a + 2b} + \dfrac{1}{b + 2c} +

Đáp án:

\(\max\left(\dfrac{1}{a+2b} + \dfrac{1}{b+2c} + \dfrac{1}{c+2a}\right) = 1 \Leftrightarrow a = b = c = 1\) 

Giải thích các bước giải:

\(\begin{array}{l}
\text{Ta có bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ dạng $Engel$:}\\
\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} \geqslant \dfrac{9}{x+y+z}\\
\text{Áp dụng bất đẳng thức trên, ta được:}\\
\dfrac{1}{2a} + \dfrac{1}{2b} + \dfrac{1}{2b}\geqslant \dfrac{9}{2(a + 2b)}\\
\dfrac{1}{2b} + \dfrac{1}{2c} + \dfrac{1}{2c}\geqslant \dfrac{9}{2(b + 2c)}\\
\dfrac{1}{2c} + \dfrac{1}{2a} + \dfrac{1}{2a}\geqslant \dfrac{9}{2(c + 2a)}\\
\text{Cộng vế theo vế ta được:}\\
\dfrac32\left(\dfrac1a + \dfrac1b + \dfrac1c\right)\geqslant \dfrac{9}{2}\left(\dfrac{1}{a+2b} + \dfrac{1}{b+2c} + \dfrac{1}{c+2a}\right)\\
\Leftrightarrow \dfrac{1}{a+2b} + \dfrac{1}{b+2c} + \dfrac{1}{c+2a}\leqslant \dfrac13\left(\dfrac1a + \dfrac1b + \dfrac1c\right)\\
\Leftrightarrow \dfrac{1}{a+2b} + \dfrac{1}{b+2c} + \dfrac{1}{c+2a}\leqslant \dfrac13\cdot \dfrac{ab+bc+ca}{abc}\\
\Leftrightarrow \dfrac{1}{a+2b} + \dfrac{1}{b+2c} + \dfrac{1}{c+2a}\leqslant \dfrac13\cdot 3\\
\Leftrightarrow \dfrac{1}{a+2b} + \dfrac{1}{b+2c} + \dfrac{1}{c+2a}\leqslant 1\\
\text{Dấu = xảy ra}\ \Leftrightarrow a = b =c = 1\\
\text{Vậy}\ \max\left(\dfrac{1}{a+2b} + \dfrac{1}{b+2c} + \dfrac{1}{c+2a}\right) = 1 \Leftrightarrow a = b = c = 1
\end{array}\)