Cho a,b,c lớn hơn 0 và a+b+c=3. Tìm MIN của P= $\frac{1}{a}$ +$\frac{1}{b}$ +$\frac{1}{c}$

0 bình luận về “Cho a,b,c lớn hơn 0 và a+b+c=3. Tìm MIN của P= $\frac{1}{a}$ +$\frac{1}{b}$ +$\frac{1}{c}$”

1. Chứng minh bất phương trình:

                 (a+b+c)($\frac{1}{a}$ +$\frac{1}{b}$ +$\frac{1}{c}$ )≥9                                                        (1)

   ⇔1+$\frac{a}{b}$ +$\frac{a}{c}$ +$\frac{b}{a}$ +1+$\frac{b}{c}$ +$\frac{c}{a}$ +$\frac{c}{b}$ +1≥9

   ⇔ ($\frac{a}{b}$ +$\frac{b}{a}$)+($\frac{a}{c}$+$\frac{c}{a}$)+($\frac{b}{c}$ +$\frac{c}{b}$)≥6         (2)

   Ta có: a>0;b>0;c>0 

   ⇒$\frac{a}{b}$ >0;$\frac{b}{a}$ >0;$\frac{a}{c }$ >0;$\frac{c}{a}$ >0;$\frac{b}{c}$ >0;$\frac{c}{b}$>0

   Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương ta được:

   $\frac{a}{b}$ +$\frac{b}{a}$≥2.√($\frac{a}{b}$ .$\frac{b}{a}$)=2

   $\frac{a}{c}$+$\frac{c}{a}$  ≥2√$\frac{a}{c}$.$\frac{c}{a}$=2

   $\frac{b}{c}$ +$\frac{c}{b}$≥2√$\frac{b}{c}$ .$\frac{c}{b}$=2

   ⇒($\frac{a}{b}$ +$\frac{b}{a}$)+($\frac{a}{c}$+$\frac{c}{a}$)+($\frac{b}{c}$ +$\frac{c}{b}$)≥6  

   Vì (2) luôn đúng với mọi a,b,c lớn hơn 0 nên (1) luôn đúng.

   Áp dụng bất đẳng thức trên ta có:

        (a+b+c)($\frac{1}{a}$ +$\frac{1}{b}$ +$\frac{1}{c}$ )≥9

   ⇔ 3.($\frac{1}{a}$ +$\frac{1}{b}$ +$\frac{1}{c}$ )          ≥9                   (vì a+b+c=3)

   ⇔$\frac{1}{a}$ +$\frac{1}{b}$ +$\frac{1}{c}$                 ≥3

   hay          P≥3

   Dấu “=” xảy ra ⇔a=b=c=1

   Vậy MIN của P là 3 tại a=b=c=1

   #goodluck

   Bình luận