Cho a, b, c lớn hơn hoặc bằng 1 và nho hơn hoặc bằng 3 và a +b+c bằng 6 Chung minh a mu2+b mu 2+c mu2nho hơn hoặc bằng 14
Cho a, b, c lớn hơn hoặc bằng 1 và nho hơn hoặc bằng 3 và a +b+c bằng 6 Chung minh a mu2+b mu 2+c mu2nho hơn hoặc bằng 14
Đáp án:
Giải thích các bước giải:Đặt x=a-1, y=b-1, c=z-1
=>0<=x,y,z<=2 và x+y+z=3 (1)
Phải chứng minh (x+1)^2+(y+1)^2+(x+1)^2<= 14
<=> x^2+y^2+z^2<= 5 ( x+y+z=3)
<=>(x+y+z)^2-2(xy+yz+xz)<=5
<=>xy+yz+xz<=5 (2)
Không mất tính tổng quát giả sử ymax={x,y,z}
=> 3y>=x+y+z=3
=> y>=1
từ (2)=> y(x+z)+zx>=2
<=>y(3-y)+zx>=2
<=>zx>=y^2-3y+2
Vì 1<=y<=2
=> y^2-3y+2<=0
zx>=0(vì x,z>=0)
=> zx>= y^2-3y+2( đúng)
=> điều phải chứng minh
dấu ‘=’ xảy ra <=> a=1,b=2,c=3 và các hoán vị