Cho a,b,c ∈ R: ($a^{4}$ +$b^{4}$).($b^{4}$ +$c^{4}$).($c^{4}$+ $a^{4}$) tìm GTNN của biểu thức: P=($a^{2}$-ab+$b^{2}$).($b^{2}$-bc+$c^{2}$).($c^{2}

Đáp án:

 min P=1 ⇔a=b=c

Giải thích các bước giải:

 xét hiệu 2($a^{2}$-ab+ $b^{2}$)$^{2}$-( $a^{4}$+ $b^{4}$)

=2( $a^{4}$+$a^{2}$ $b^{2}$+ $b^{4}$-2a$^{3}$b-2a$b^{3}$+2$a^{2}$$b^{2}$)- $a^{4}$- $b^{4}$ 

=$a^{4}$+ $b^{4}$-4$a^{3}$b-4a$b^{3}$+6$a^{2}$$b^{2}$

=$a^{4}$+$b^{4}$+4$a^{2}$$b^{2}$-4$a^{3}$b-4a$b^{3}$+2$a^{2}$$b^{2}$ 

=$(a^{2}$-2ab+$b^{2})$$^{2}$ $\geq$ 0 với ∀a,b

⇒2($a^{2}$-ab+ $b^{2}$)$^{2}$$\geq$ ($a^{4}$+ $b^{4}$ )

c/m tương tự ta có :2($b^{2}$-bc+ $c^{2}$)$^{2}$$\geq$ ( $b^{4}$+ $c^{4}$)

2($c^{2}$-ca+ $a^{2}$)$^{2}$$\geq$ ( $c^{4}$+ $a^{4}$)

⇒8($a^{2}$-ab+ $b^{2}$)$^{2}$($b^{2}$-bc+ $c^{2}$)$^{2}$$c^{2}$-ca+ $a^{2}$$^{2}$)$\geq$

($a^{4}$+ $b^{4}$)( $b^{4}$+ $c^{4}$)( $c^{4}$+ $a^{4}$)

⇒($a^{2}$-ab+ $b^{2}$)($b^{2}$-bc+ $c^{2}$)($c^{2}$-ca+ $a^{2}$) $\geq$ 1

dấu = xảy ra khi a=b=c