Cho a b c theo thứ tự lập thành cấp số nhân chứng minh (a^2+b^2)(b^2+c^2)=(ab+bc)^2 làm bằng 2 cách 26/10/2021 Bởi Peyton Cho a b c theo thứ tự lập thành cấp số nhân chứng minh (a^2+b^2)(b^2+c^2)=(ab+bc)^2 làm bằng 2 cách
Cách 1: Vì `a,b,c` theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên `ac=b^2` Ta có: `VP=(ab+bc)^2=b^2(a+c)^2` `=b^2(a^2+2ac+c^2)=b^2(a^2+b^2+b^2+c^2)` `=(a^2b^2+b^4)+b^2(b^2+c^2)=(a^2b^2+a^2c^2)+b^2(b^2+c^2)` `=a^2(b^2+c^2)+b^2(b^2+c^2)=(a^2+b^2)(b^2+c^2)=VT` (đpcm) Cách 2: Áp dụng BĐT Buniacopxki cho 2 bộ số `(a;b)` và `(b;c)` ta có: `(ab+bc)^2≤(a^2+b^2)(b^2+c^2)` Dấu “=” xảy ra `⇔a/b=b/c⇔ac=b^2` Khi đó a,b,c theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Bình luận
Cách 1:
Vì `a,b,c` theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên `ac=b^2`
Ta có:
`VP=(ab+bc)^2=b^2(a+c)^2`
`=b^2(a^2+2ac+c^2)=b^2(a^2+b^2+b^2+c^2)`
`=(a^2b^2+b^4)+b^2(b^2+c^2)=(a^2b^2+a^2c^2)+b^2(b^2+c^2)`
`=a^2(b^2+c^2)+b^2(b^2+c^2)=(a^2+b^2)(b^2+c^2)=VT` (đpcm)
Cách 2:
Áp dụng BĐT Buniacopxki cho 2 bộ số `(a;b)` và `(b;c)` ta có:
`(ab+bc)^2≤(a^2+b^2)(b^2+c^2)`
Dấu “=” xảy ra `⇔a/b=b/c⇔ac=b^2`
Khi đó a,b,c theo thứ tự lập thành cấp số nhân.
Đáp án:
Giải thích các bước giải: