Cho a, b, c thỏa mãn (a-b) ²+ (b-c) ² + (c-a ) ² = 6abc CMR a ³ + b ³ + c ³ = 3abc( a + b + c + 1 ) 09/09/2021 Bởi Clara Cho a, b, c thỏa mãn (a-b) ²+ (b-c) ² + (c-a ) ² = 6abc CMR a ³ + b ³ + c ³ = 3abc( a + b + c + 1 )
Giải thích các bước giải: \[\begin{array}{l} {\left( {a – b} \right)^2} + {\left( {b – c} \right)^2} + {\left( {c – a} \right)^2} = 6abc\\ \Leftrightarrow {a^2} – 2ab + {b^2} + {b^2} – 2bc + {c^2} + {c^2} – 2ca + {a^2} = 6abc\\ \Leftrightarrow 2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) – 2\left( {ab + bc + ca} \right) = 6abc\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} – ab – bc – ca = 3abc \end{array}\] Áp dụng:\[\begin{array}{l} {a^3} + {b^3} + {c^3} = \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} – ab – bc – ca} \right) + 3abc\\ \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} = \left( {a + b + c} \right).3abc + 3abc\\ \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} = 3abc\left( {a + b + c + 1} \right) \end{array}\] Bình luận
Giải thích các bước giải:
\[\begin{array}{l}
{\left( {a – b} \right)^2} + {\left( {b – c} \right)^2} + {\left( {c – a} \right)^2} = 6abc\\
\Leftrightarrow {a^2} – 2ab + {b^2} + {b^2} – 2bc + {c^2} + {c^2} – 2ca + {a^2} = 6abc\\
\Leftrightarrow 2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) – 2\left( {ab + bc + ca} \right) = 6abc\\
\Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} – ab – bc – ca = 3abc
\end{array}\]
Áp dụng:\[\begin{array}{l}
{a^3} + {b^3} + {c^3} = \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} – ab – bc – ca} \right) + 3abc\\
\Leftrightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} = \left( {a + b + c} \right).3abc + 3abc\\
\Leftrightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} = 3abc\left( {a + b + c + 1} \right)
\end{array}\]