Cho a , b , c thỏa mãn a ² + b ² + c ² = 2 . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P = a + b + c – abc
mọi người giúp mình với nhé , mình rất cảm ơn ạ
Cho a , b , c thỏa mãn a ² + b ² + c ² = 2 . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P = a + b + c – abc
mọi người giúp mình với nhé , mình rất cảm ơn ạ
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Bài VMO của 1 năm nào đó, rất cổ rồi:
Do vai trò của $a;b;c$ là như nhau, không mất tính tổng quát, giả sử $c \geq b \geq a$
$⇒2=a^2+b^2+c^2 \geq b^2+c^2 \geq 2bc ⇒bc \leq 1$
Khi đó:
$P^2=(a+b+c-abc)^2=\left[a(1-bc)+(b+c).1 \right]^2$
$⇒P^2 \leq \left[a^2+(b+c)^2 \right]\left[(1-bc)^2+1^2 \right]$
$⇒P^2 \leq (a^2+b^2+c^2+2bc)(b^2c^2-2bc+2)$
$⇒P^2 \leq 2(bc+1)(b^2c^2-2bc+2)$
Đặt $bc=x \Rightarrow x \leq 1$
$⇒P^2 \leq 2(x+1)(x^2-2x+2)$
$⇒P^2 \leq 2x^3-2x^2+4=4-2x^2(1-x) \leq 4$
$⇒-2 \leq P \leq 2$
Vậy:
$P_{max}=2$ khi $(a;b;c)=(0;1;1)$ và các hoán vị
$P_{min}=-2$ khi $(a;b;c)=(0;-1;-1)$ và các hoán vị