cho a,b,c thỏa mãn a ²+b ² +c ²=2.tìm gtnn và gtln của P=a+b+c-abc

0 bình luận về “cho a,b,c thỏa mãn a ²+b ² +c ²=2.tìm gtnn và gtln của P=a+b+c-abc”

1. Ta có : $a^2+b^2+c^2 ≥ b^2+c^2$

   Mà : $b^2+c^2 ≥ 2bc$ 

   $\to a^2+b^2+c^2 ≥ 2bc \to 2 ≥ 2bc \to bc ≤ 1$ $\to 1-bc ≤ 0 $

   Xét $P^2 = (a+b+c-abc)^2$

   $=[(b+c)+a.(1-bc)]^2$

   $≤[(b+c)^2+a^2].[1^2+(1-bc)^2]$ ( Theo Bunhiacopxki )

   $= (2+2bc).(b^2c^2+2-2bc)$

   $ = 4-2b^2c^2.(1-bc)  ≤ 4$

   $\to -2≤P≤2$

   Vậy $P_{min} = -2$ và $P_{max} = 2$

    

   Bình luận

2. Ta có: $a^2+b^2+c^2≥b^2+c^2 ∀a,b,c$

   Mà theo bđt Cauchy thì $b^2+c^2≥2bc;∀b,c$

   $⇒2=a^2+b^2+c^2≥2bc$

   $⇒1≥bc$

   $⇒1-bc≥0$

   Ta có $P=a+b+c-abc$

   $⇒P^2=(a+b+c-abc)^2$
   $=[b+c+a(1-bc)]^2$

   Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta được:

   $[1.(b+c)+a(1-bc)]^2≤[(b+c)^2+a^2][1^2+(1-bc)^2]$j

   $=[b^2+c^2+a^2+2bc][b^2c^2-2bc+2]$
   $=(2+2bc).(b^2c^2-2bc+2)$

   $=4-2b^2c^2(1-bc)≤4$(do $1-bc≥0;b^2c^2≥0∀b;c$)

   Hay $P^2≤4$

   $⇒-2≤P≤2$

   Dấu `=` xảy ra $⇔1-bc=0;b^2c^2=0;a^2+b^2+c^2=2;(b+c)^2.(1-bc)^2=a^2⇔a=0$

   Khi $Max_{P}=2⇔P≥0⇔b+c≥0;do a=0;1-bc≥0$ kết hợp với trên ta có 

   \(\left[ \begin{array}{l}b=0;a=0;c=\sqrt[]2\\b=\sqrt[]2;a=0;c=0\end{array} \right.\)

   Chứng minh tương tự $Min_P=-2$ khi 

   \(\left[ \begin{array}{l}b=0;a=0;c=-\sqrt[]2\\b=-\sqrt[]2;a=0;c=0\end{array} \right.\)

   Bình luận