Cho a,b,c thuộc chặn 1,2 và a+b+c =5 CMR a^2+b^2+c^2 nhỏ hơn hoặc bằng 9 10/11/2021 Bởi Hadley Cho a,b,c thuộc chặn 1,2 và a+b+c =5 CMR a^2+b^2+c^2 nhỏ hơn hoặc bằng 9
Vì $1 ≤ a,b,c≤2$ $\to (2-a).(1-a) ≤ 0 $ $\to 2-3a -a^2 ≤ 0 $ $\to a^2 ≤ 3a-2$ (1) Tương tự ta có : $b^2 ≤3b-2$ (2) $c^2≤3c-2$ (3) Cộng các vế của BĐT (1) , (2) và (3) ta được : $a^2+b^2+c^2≤ 3.(a+b+c) – 6 = 15-6=9$ Dấu “=” xảy ra $⇔a=b=1,c=2$ hoặc $a=b=2,c=1$ hoặc $a=b=c=2$ hoặc $a=b=c=1$ và các hoán vị khác. Bình luận
Vì a ∈ [ 1 ; 2 ] ⇒ (a – 1)(a – 2) ≤ 0 Suy ra a^2 ≤ 3a – 2 b^2 ≤ 3b – 2 c^2 ≤ 3c – 2 Cộng lại, ta được a^2 + b^2 + c^2 ≤ 3(a + b + c) – 6 = 15 – 6 = 9 Dấu “=” xảy ra ⇔ (a ; b ; c) = (1 ; 2 ; 2) và các hoán vị. Bình luận
Vì $1 ≤ a,b,c≤2$
$\to (2-a).(1-a) ≤ 0 $
$\to 2-3a -a^2 ≤ 0 $
$\to a^2 ≤ 3a-2$ (1)
Tương tự ta có :
$b^2 ≤3b-2$ (2)
$c^2≤3c-2$ (3)
Cộng các vế của BĐT (1) , (2) và (3) ta được :
$a^2+b^2+c^2≤ 3.(a+b+c) – 6 = 15-6=9$
Dấu “=” xảy ra $⇔a=b=1,c=2$ hoặc $a=b=2,c=1$ hoặc $a=b=c=2$ hoặc $a=b=c=1$ và các hoán vị khác.
Vì a ∈ [ 1 ; 2 ] ⇒ (a – 1)(a – 2) ≤ 0
Suy ra a^2 ≤ 3a – 2
b^2 ≤ 3b – 2
c^2 ≤ 3c – 2
Cộng lại, ta được
a^2 + b^2 + c^2 ≤ 3(a + b + c) – 6 = 15 – 6 = 9
Dấu “=” xảy ra ⇔ (a ; b ; c) = (1 ; 2 ; 2) và các hoán vị.