cho a,b,c thuộc R biết a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc +ca .Tính A = (a-b)^2015 + (b-c)^2016 + (c-a)^2017

0 bình luận về “cho a,b,c thuộc R biết a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc +ca .Tính A = (a-b)^2015 + (b-c)^2016 + (c-a)^2017”

1. Có:

   `a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc +ca`

   `⇔2.(a^2 + b^2 + c^2) = 2.(ab + bc +ca)`

   `⇔2a^2 + 2b^2 + 2c^2 = 2ab + 2bc +2ca`

   `⇔2a^2 + 2b^2 + 2c^2 – (2ab + 2bc +2ca)=0`

   `⇔2a^2 + 2b^2 + 2c^2 – 2ab – 2bc – 2ca=0`

   `⇔(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2)=0`

   `⇔(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0`

   Có: `(a-b)^2 \ge 0 , (b-c)^2 \ge 0, (c-a)^2 \ge 0 `

   `⇒(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \ge 0`

   Dấu ”=” xảy ra khi:

   `(a-b)^2=0, (b-c)^2=0, (c-a)^2=0`

   `⇔a-b=0, b-c=0, c-a=0`

   `⇔a=b=c.`

   Thay `a=b=c` vào `A = (a-b)^{2015} + (b-c)^{2016} + (c-a)^{2017}`, ta có:

   `A = (a-a)^{2015} + (b-b)^{2016} + (c-c)^{2017}`

   `A=0.`

   Vậy với `a,b,c∈RR, a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc +ca ⇒ A=0.`

   Bình luận

2. Ta có: $a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca$

   $⇒2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2bc+2ca$

   $⇒(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2)=0$

   $⇔(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0$

   Mà $(a-b)^2;(b-c)^2;(c-a)^2≥0$

   $⇒(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2≥0$

   Mà $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0$

   Nên dấu = xảy ra $⇔a-b=0;b-c=0;c-a=0$
   Khi đó $A=0^{2015}+0^{2016}+0^{2017}=0$

   Bình luận