cho a,b,c thuộc R thỏa mãn a+b+c+ab+ac+bc=6 chứng minh a2+b2+c2>=3 26/09/2021 Bởi Skylar cho a,b,c thuộc R thỏa mãn a+b+c+ab+ac+bc=6 chứng minh a2+b2+c2>=3
Giải thích các bước giải: Ta có: $(a-1)^2+(b-1)^2+(c-1)^2+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\ge 0\quad\forall a,b,c$ $\to a^2-2a+1+b^2-2b+1+c^2-2c+1+a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2\ge 0$ $\to 3(a^2+b^2+c^2)\ge 2(a+b+c+ab+bc+ca)-3$ $\to 3(a^2+b^2+c^2)\ge 2\cdot 6-3$ $\to 3(a^2+b^2+c^2)\ge 9$ $\to a^2+b^2+c^2\ge 3$ Dấu = xảy ra khi $a=b=c=1$ Bình luận
Giải thích các bước giải:
Ta có:
$(a-1)^2+(b-1)^2+(c-1)^2+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\ge 0\quad\forall a,b,c$
$\to a^2-2a+1+b^2-2b+1+c^2-2c+1+a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2\ge 0$
$\to 3(a^2+b^2+c^2)\ge 2(a+b+c+ab+bc+ca)-3$
$\to 3(a^2+b^2+c^2)\ge 2\cdot 6-3$
$\to 3(a^2+b^2+c^2)\ge 9$
$\to a^2+b^2+c^2\ge 3$
Dấu = xảy ra khi $a=b=c=1$