Cho a,b,c thuộc Z, thỏa mãn a+b+c =0, chứng minh a^5+b^5+c^5 chia hết cho 30

0 bình luận về “Cho a,b,c thuộc Z, thỏa mãn a+b+c =0, chứng minh a^5+b^5+c^5 chia hết cho 30”

1. Đáp án+Giải thích các bước giải:

   Ta có

   `a^5-a=a(a^2-1)( a^2+1)`

   `=a(a^2-1)(a^2-4+5)`

   `= (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2)+5(a-1)a(a+1)`

   Vì `(a-2)(a-1)a(a+1)(a+2)` là tích năm số liên tiếp nên chia hết cho `2;3;5` do đó chia hết cho `30`

   Lại có `(a-1)a(a+1)` chia hết cho `6` nên `5(a+1)a(a-1) vdots 30`

   `=> a^5-a vdots 30`

   Tương tự `b^5-b vdots 30`; `c^5-c vdots 30`

   `=> (a^5 -a)+(b^5-b)+(c^5-c) vdots 30`

   `= (a^5+b^5 + c^5 )-(a+b+c) vdots 30`

   Mà `a+b+c =0`

   `=> a^5 + b^5 + c^5 vdots 30`

   Bình luận

2. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải:

   Đặt A=a^5+b^5+c^5 

   Do a+b+c=5

   ⇒A=A−(a+b+c)=a^5−a+b^5−b+c^5−c

   Có: B=a^5−a=a(a^4−1)=a(a−1)(a+1)(a^2+1)

   Nếu a chia hết cho 5 ⇒B chia hết cho 5

   Nếu a chia 5 dư 1 hoặc -1 ⇒(a−1)(a+1) chia hết cho 5 ⇒B chia hết cho 5

   Nếu a chia 5 dư 2 hoặc -2 ⇒a^2+1chia 5 dư 5

   ⇒a^2+1⋮5⇒B⋮5

   Vậy B⋮5 với mọi a nguyên

   Chứng minh tương tự được b^5−b; c^5−c chia hết cho 5 với mọi b; c

   ⇒A−(a+b+c)⋮5⇒ A⋮5 (1)

   Lại có (a-1)a(a+1) là tích 3 số tự nhiên liên tiếp ⇒ (a-1)a(a+1)⋮6

   Tương tự (b-1)b(b+1)⋮6 ;(c-1)c(c+1)⋮6

   ⇒A⋮6 (2)

   Từ (1) và (2) ⇒đpcm

   Bình luận