Cho a,b,c ∈ Z, a+b+c=0. CMR: a^5+b^5+c^5 chia hết cho 30. Giải ngắn gọn

0 bình luận về “Cho a,b,c ∈ Z, a+b+c=0. CMR: a^5+b^5+c^5 chia hết cho 30. Giải ngắn gọn”

1. Giải thích các bước giải:

   Ta có:

   $a^5-a=a(a^4-1)=a(a^2+1)(a^2-1)$

   $\to a^5-a=a(a^2+1)(a-1)(a+1)$

   $\to a^5-a=a(a^2-4+5)(a-1)(a+1)$

   $\to a^5-a=a(a^2-4)(a-1)(a+1)+5a(a-1)(a+1)$

   $\to a^5-a=a(a-2)(a+2)(a-1)(a+1)+5a(a-1)(a+1)$

   Ta có $ a-1, a, a+1$ là $3$ số nguyên liên tiếp

   $\to (a-1)a(a+1)\quad\vdots\quad 2, 3$ 

   $\to (a-1)a(a+1)\quad\vdots\quad 2\cdot 3=6$ vì $(2, 3)=1$ 

   $\to 5a(a-1)(a+1)\quad\vdots\quad 30$

   Lại có $a-2, a-1, a, a+1, a+2$ là $5$ số nguyên liên tiếp

   $\to (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2)\quad\vdots\quad 2, 3, 5$

   $\to (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2)\quad\vdots\quad 2\cdot 3\cdot 5$ vì $(2,3,5)=1$

   $\to (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2)\quad\vdots\quad 30$

   $\to a(a-2)(a+2)(a-1)(a+1)+5a(a-1)(a+1)\quad\vdots\quad 30$

   $\to a^5-a\quad\vdots\quad 30$

   Tương tự $b^5-b\quad\vdots\quad 30,c^5-c\quad\vdots\quad 30$

   $\to (a^5-a)+(b^5-b)+(c^5-c)\quad\vdots\quad 30$

   $\to (a^5+b^5+c^5)-(a+b+c)\quad\vdots\quad 30$

   $\to a^5+b^5+c^5-0\quad\vdots\quad 30$

   $\to a^5+b^5+c^5\quad\vdots\quad 30$

   Bình luận