Cho a,b dương thõa mãn: a^3 + b^3 = a^5 + b^5 CM: a^2 + b^2 ≤ 1 + ab 02/08/2021 Bởi Hadley Cho a,b dương thõa mãn: a^3 + b^3 = a^5 + b^5 CM: a^2 + b^2 ≤ 1 + ab
Đáp án+Giải thích các bước giải: ta có `a^2“+“b^2“≤“1“+“ab` `⇔“a^2“+“b^2“-“ab“≤“1` `⇔“(a+b)“(a^2-ab+b^2)“≤“a“+“b` `⇔“a^3“+“b^3“≤“a“+“b` `⇔“(a^3+b^3)`.`(a^3+b^3)“≤“(a^5+b^5)“(A+B)` `⇔“a^6“+“2a^3“b^3“+“b^6“≤“a^6“+“a^5b“+“ab^5“+“b^6` `⇔“2a^3`.`b^3“≤“a^5b“+“ab^5` `⇔“ab“(a^4+b^4-2a^2b^2)“≥“0` `⇔“ab“(a^2-b^2)“≥“0` đúng với `a,b“ >“0` Bình luận
Đáp án+Giải thích các bước giải:
ta có `a^2“+“b^2“≤“1“+“ab`
`⇔“a^2“+“b^2“-“ab“≤“1`
`⇔“(a+b)“(a^2-ab+b^2)“≤“a“+“b`
`⇔“a^3“+“b^3“≤“a“+“b`
`⇔“(a^3+b^3)`.`(a^3+b^3)“≤“(a^5+b^5)“(A+B)`
`⇔“a^6“+“2a^3“b^3“+“b^6“≤“a^6“+“a^5b“+“ab^5“+“b^6`
`⇔“2a^3`.`b^3“≤“a^5b“+“ab^5`
`⇔“ab“(a^4+b^4-2a^2b^2)“≥“0`
`⇔“ab“(a^2-b^2)“≥“0` đúng với `a,b“ >“0`