Cho a,b là các số dương.Chứng minh rằng:a^2//b+b^2/a>hoặc =can(2(a^2+b^2))

0 bình luận về “Cho a,b là các số dương.Chứng minh rằng:a^2//b+b^2/a>hoặc =can(2(a^2+b^2))”

1. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải:

   Để cho gọn đặt x = (a² + b²)/ab ≥ 2 với mọi a, b ta có:

   (x – 1)² = [(a² + b²)/ab – 1]² = (a² + b² – ab)²/a²b²

   x + 2 = (a² + b²)/ab + 2 = (a + b)²/ab

   x³ – 3x + 2 = (x – 1)²(x + 2) = (a³ + b³)²/a³b³

   Mặt khác do : x – 2 ≥ 0 và x² + 2x – 1 > 2² + 2.2 – 1 = 7 > 0 với mọi a, b nên:

   (x – 2)(x² + 2x – 1) ≥ 0

   ⇔ x³ – 5x + 2 ≥ 0

   ⇔ x³ – 3x + 2 ≥ 2x

   ⇔ (a³ + b³)²/a³b³ ≥ 2(a² + b²)/ab

   ⇔ (a³ + b³)²/a²b² ≥ 2(a² + b²)

   ⇔ (a³ + b³)/ab ≥ √[2(a² + b²)]

   ⇔ a²/b + b²/a ≥ √[2(a² + b²)] (đpcm)

   Bình luận