Cho a, b là các số dương và 3a + 5b=12. Tìm giá trị lớn nhất của P=ab 24/08/2021 Bởi Melanie Cho a, b là các số dương và 3a + 5b=12. Tìm giá trị lớn nhất của P=ab
Ta có : `12=3a+5b>=2`$\sqrt[]{3a.5b}=2\sqrt[]{15ab}$ `<=>ab<12/5` Dấu “=” xảy ra khi : $\begin{cases}3a=5b\\3a+5b=12\end{cases}$ Vậy `(a;b)=(2;6/5)` Bình luận
Đáp án: `P_{max}=\frac{12}{5}⇔a=2;b=\frac{6}{5}` Giải thích các bước giải: Trước hết, ta có bất đẳng thức sau: $(a+b)^2≥4ab∀a;b(*)$ Chứng mnh: $(*)⇔a^2+b^2+2ab≥4ab$ $⇔a^2+b^2-2ab≥0$ $⇔(a-b)^2≥0$ (luôn đúng) Trở lại bài toán: Áp dụng bất đẳng thức $(*)$ ta được: `144=(3a+5b)^2≥4.3a.5b⇒60ab≤144⇒P=ab≤\frac{12}{5}` Dấu bằng xảy ra $⇔3a=5b⇔b=\dfrac{3}{5}a$ Thay $3a=5b$ vào đẳng thức đã cho, ta được: $12=3a+3a=6a⇒a=2$ `⇒b=\frac{3}{5}.2=\frac{6}{5}` Bình luận
Ta có : `12=3a+5b>=2`$\sqrt[]{3a.5b}=2\sqrt[]{15ab}$
`<=>ab<12/5`
Dấu “=” xảy ra khi : $\begin{cases}3a=5b\\3a+5b=12\end{cases}$
Vậy `(a;b)=(2;6/5)`
Đáp án: `P_{max}=\frac{12}{5}⇔a=2;b=\frac{6}{5}`
Giải thích các bước giải:
Trước hết, ta có bất đẳng thức sau: $(a+b)^2≥4ab∀a;b(*)$
Chứng mnh:
$(*)⇔a^2+b^2+2ab≥4ab$
$⇔a^2+b^2-2ab≥0$
$⇔(a-b)^2≥0$ (luôn đúng)
Trở lại bài toán:
Áp dụng bất đẳng thức $(*)$ ta được:
`144=(3a+5b)^2≥4.3a.5b⇒60ab≤144⇒P=ab≤\frac{12}{5}`
Dấu bằng xảy ra $⇔3a=5b⇔b=\dfrac{3}{5}a$
Thay $3a=5b$ vào đẳng thức đã cho, ta được:
$12=3a+3a=6a⇒a=2$
`⇒b=\frac{3}{5}.2=\frac{6}{5}`