Cho `a,b` là các số nguyên dương sao cho `a+1` và `b+2007` chia hết cho 6 . Chứng minh rằng `4^a + a + b` chia hết cho 6

0 bình luận về “Cho `a,b` là các số nguyên dương sao cho `a+1` và `b+2007` chia hết cho 6 . Chứng minh rằng `4^a + a + b` chia hết cho 6”

1. Giải thích các bước giải:

   Ta có:

   $a+1,b+2007\quad\vdots\quad 6$

   $\to a+1,b+2007\quad\vdots\quad 2$

   $\to a,b$ lẻ

   $\to 4^a+a+b\quad\vdots\quad 2(1)$
   Mặt khác $a+1,b+2007\quad\vdots\quad 3$

   $\to a+1+b+2007\quad\vdots\quad 3$

   $\to a+b+1\quad\vdots\quad 3$

   $\to a+b+1\quad\vdots\quad 3$

   Mà $4\equiv 1(mod\quad 3)$

   $\to 4^a\equiv 1^a\equiv 1(mod\quad 3)$

   $\to 4^a+a+b\equiv 1+a+b\equiv 0(mod\quad 3)$ vì $a+b+1\quad\vdots\quad 3$

   $\to 4^a+a+b\quad\vdots\quad 3(2)$

   Vì $(2,3)=1$ kết hợp $(1),(2)\to 4^a+a+b\quad\vdots\quad 6$

   Bình luận

2. `a + 1 vdots 6 ; b + 2007 vdots 6 `

   `⇒ a,b` lẻ `⇒ a + b vdots 2`

   Ta lại có `4^a vdots 2` với `∀ a`

   Nên `4^a + a + b vdots 2 ( 1 )`

    Vì `a + 1 vdots 6 ; b + 2007 vdots 6`

   `⇒ a + 1 + b + 2007 vdots 6`

   `⇒ ( a + b + 1 ) + 2007 vdots 3`

   Vì `2007 vdots 3`

   `⇒ a + b + 1 vdots 3`

   Ta có :

   `4^a + a + b = 4^a – 1 + ( a + b + 1 )`

   Vì `4a – 1 vdots 3` và `a + b + 1 vdots 3`

   `⇒ 4^a + a + b vdots 3 ( 2 )`

   Từ `(1);(2)`

   `⇒ 4^a + a + b vdots 6`

   Bình luận