cho a,b là các số thực dương .CMR $\sqrt[2]{a^2+b^2}$ +$\sqrt[2]{2ab}$ $\leq$ $\sqrt[2]{2(a^2+b^2+2ab)}$ 18/08/2021 Bởi Audrey cho a,b là các số thực dương .CMR $\sqrt[2]{a^2+b^2}$ +$\sqrt[2]{2ab}$ $\leq$ $\sqrt[2]{2(a^2+b^2+2ab)}$
Gọi H= $\sqrt[]{a^{2}+b^{2}}$ + $\sqrt[]{2ab}$ Áp dụng BĐT bunhiacopxki H²= $(\sqrt[]{a^{2}+b^{2}} + \sqrt[]{2ab})^{2}$ ≤ (1+1)($a^{2}$+$b^{2}$+2ab) ≤ 2 ($a^{2}$+$b^{2}$+2ab) => H ≤ $\sqrt[]{2 (a^{2}+b^{2}+2ab)}$ Bình luận
Áp dụng bất đẳng thức $x+y≤\sqrt[]{2(x^2+y^2)}(1)$ với $a;b≥0$ Thật vậy: $(1)⇔(x+y)^2≤2(x^2+y^2)$ $⇔x^2-2xy+y^2≥0⇔(x-y)^2≥0$ luôn đúng Dấu $=$ xảy ra $⇔x-y=0⇔x=y$ Áp dụng vào bài toán với $\sqrt[]{a^2+b^2}=x;\sqrt[]{2ab}=y$ Khi đó $x+y≤\sqrt[]{2(x^2+y^2)}$ $⇔\sqrt[]{a^2+b^2}+\sqrt[]{2ab}≤\sqrt[]{2.(a^2+b^2+2ab)}$ (đpcm) Dấu $=$ xảy ra $⇔a^2+b^2=2ab⇔(a-b)^2=0⇔a-b=0⇔a=b$ Bình luận
Gọi
H= $\sqrt[]{a^{2}+b^{2}}$ + $\sqrt[]{2ab}$
Áp dụng BĐT bunhiacopxki
H²= $(\sqrt[]{a^{2}+b^{2}} + \sqrt[]{2ab})^{2}$ ≤ (1+1)($a^{2}$+$b^{2}$+2ab)
≤ 2 ($a^{2}$+$b^{2}$+2ab)
=> H ≤ $\sqrt[]{2 (a^{2}+b^{2}+2ab)}$
Áp dụng bất đẳng thức $x+y≤\sqrt[]{2(x^2+y^2)}(1)$ với $a;b≥0$
Thật vậy: $(1)⇔(x+y)^2≤2(x^2+y^2)$
$⇔x^2-2xy+y^2≥0⇔(x-y)^2≥0$ luôn đúng
Dấu $=$ xảy ra $⇔x-y=0⇔x=y$
Áp dụng vào bài toán với $\sqrt[]{a^2+b^2}=x;\sqrt[]{2ab}=y$
Khi đó $x+y≤\sqrt[]{2(x^2+y^2)}$
$⇔\sqrt[]{a^2+b^2}+\sqrt[]{2ab}≤\sqrt[]{2.(a^2+b^2+2ab)}$
(đpcm)
Dấu $=$ xảy ra $⇔a^2+b^2=2ab⇔(a-b)^2=0⇔a-b=0⇔a=b$