Cho a,b là hai số nguyên dương thỏa mãn a+2020b chia hết cho 2021. chứng minh rằng phân số P = 2a + 2019b / 3a + 2018b ko là phân số tối giản
Cho a,b là hai số nguyên dương thỏa mãn a+2020b chia hết cho 2021. chứng minh rằng phân số P = 2a + 2019b / 3a + 2018b ko là phân số tối giản
Do b ∈ N*
Nên từ a + 2020b chia hết cho 2021
⇒ a – b + 2021b chia hết cho 2021
Mà 2021b chia hết cho 2021 ( ∀ b ∈ N* )
⇒( a – b ) chia hết cho 2021(1)
Ta có :
2a + 2019b = 2a – 2b + 2021b
Mà 2021b chia hết cho 2021 ( ∀ b ∈ N* )
⇒ 2a – 2b chia hết 2021 ⇒ 2(a – b) chia hết cho 2021 mà ( a – b ) chia hết cho 2021( theo (1)),ƯCLN(2,2021) = 1
⇒ 2a – 2b + 2021b chia hết cho 2021 ⇒ 2a + 2019 chưa tối giản( 2 )
Ta lại có :
3a + 2018 = 3a – 3b + 2021b
Mà 2021b chia hết cho 2021 ( ∀ b ∈ N* )
⇒ 3a – 3b chia hết 2021 ⇒ 3(a – b) chia hết cho 2021 mà ( a – b ) chia hết cho 2021( theo (1)),ƯCLN(3,2021) = 1
⇒ 3a – 3b + 2021b chia hết cho 2021 ⇒ 3a + 2019 chưa tối giản( 3 )
Từ (2),(3) ⇒ 2a + 2019b / 3a + 2018b ko là phân số tối giản
⇒ phân số P chưa tối giản
Giải
Do b∈N∗
⇒2021b⋮2021(b∈ N*⇒2021b⋮ 2021)
Từ a+2020b⋮ 2021a+2020b⋮ 2021
⇒a−b⋮ 2021 (do2021b⋮20212021b⋮2021)
Ta có:
2a+2019b=2a−2b+2021b=2a−2b+2021b
=2(a−b)+2021b
Do
a−b⋮2021
⇒2(a−b)+2021b⋮2021(1)
3a+2018b
=3a−3b+2021b
=3(a−b)+2021b⋮2021
a−b⋮2021⇒3(a−b)⋮2021
2021b⋮2021
⇒3(a−b)+2021b⋮2021(2)
Từ (1);(2)
⇒2a+2019b;3a+2018b
(1);(2)⇒2a+2019b;3a+2018b có ước chung là 2021
⇒P=2a+2019b3a+2018b
⇒P=2a+2019b3a+2018b không là phân số tối giản
Nhớ vote 5*, cảm ơn và cho câu trả lời hay nhất nha nếu nó hữu ích cho bạn!