Cho $a$, $b$ là hai số tự nhiên, biết $\frac{a + 1}{b}$ + $\frac{b + 1}{a}$ có giá trị là số tự nhiên. Gọi $d$ là $UCLN$ của $a$ và $b$: CMR $a$ + $b$ ≥ $d^2$
VOte 5* + CTLHN
Cho $a$, $b$ là hai số tự nhiên, biết $\frac{a + 1}{b}$ + $\frac{b + 1}{a}$ có giá trị là số tự nhiên. Gọi $d$ là $UCLN$ của $a$ và $b$: CMR $a$ + $b$ ≥ $d^2$
VOte 5* + CTLHN
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Ta có : $\frac{a+1}{b}$ +$\frac{b+1}{a}$ có giá trị là số tự nhiên
⇒$a^{2}$ +$b^{2}$ +a +b chia hết cho ab
Lại có ƯCLN(a,b)=d⇒a chia hết d ; b chia hết d ⇒ $a^{2}$ ; $b^{2}$ ;ab chia hết $d^{2}$
⇒$a^{2}$ +$b^{2}$ +a+b chia hết $d^{2}$ ⇒a+b chia hết $d^{2}$ ⇒a+b≥$d^{2}$