cho a b là số thực. chứng minh a ²+b ²+1> (hoặc bằng ) ab+a+b 11/10/2021 Bởi Josie cho a b là số thực. chứng minh a ²+b ²+1> (hoặc bằng ) ab+a+b
Ta có: $a^{2}$+$b^{2}$+1≥ab+a+b⇔2$a^{2}$+2$b^{2}$+2≥2ab+2a+2b ⇔2$a^{2}$+2$b^{2}$+2-2ab-2a-2b≥0 Biến đổi vế trái, ta có: VT=2$a^{2}$+2$b^{2}$+2-2ab-2a-2b =$a^{2}$+$a^{2}$+$b^{2}$+$b^{2}$+1+1-2ab-2a-2b =($a^{2}$-2ab+$b^{2}$)+($a^{2}$-2a+1)+($b^{2}$-2b+1)=$(a-b)^{2}$+$(a-1)^{2}$+$(b-1)^{2}$ Vì $(a-b)^{2}$≥0∀a, b∈R; $(a-1)^{2}$≥0∀a∈R; $(b-1)^{2}$≥0∈R nên $(a-b)^{2}$+$(a-1)^{2}$+$(b-1)^{2}$≥0∀a, b∈R hay $a^{2}$+$b^{2}$+1≥ab+a+b Bình luận
Ta có: $a^{2}$+$b^{2}$+1≥ab+a+b⇔2$a^{2}$+2$b^{2}$+2≥2ab+2a+2b
⇔2$a^{2}$+2$b^{2}$+2-2ab-2a-2b≥0
Biến đổi vế trái, ta có: VT=2$a^{2}$+2$b^{2}$+2-2ab-2a-2b
=$a^{2}$+$a^{2}$+$b^{2}$+$b^{2}$+1+1-2ab-2a-2b
=($a^{2}$-2ab+$b^{2}$)+($a^{2}$-2a+1)+($b^{2}$-2b+1)=$(a-b)^{2}$+$(a-1)^{2}$+$(b-1)^{2}$
Vì $(a-b)^{2}$≥0∀a, b∈R; $(a-1)^{2}$≥0∀a∈R; $(b-1)^{2}$≥0∈R nên
$(a-b)^{2}$+$(a-1)^{2}$+$(b-1)^{2}$≥0∀a, b∈R
hay $a^{2}$+$b^{2}$+1≥ab+a+b