Cho a,b lớn hơn hoặc bằng 0 thỏa mãn : (a^2+b+3/4)(b^2+a+3/4)=(2a+1/2)(2b+1/2). Tính P = 1/(a+b) + 2019 28/08/2021 Bởi Maya Cho a,b lớn hơn hoặc bằng 0 thỏa mãn : (a^2+b+3/4)(b^2+a+3/4)=(2a+1/2)(2b+1/2). Tính P = 1/(a+b) + 2019
Giải thích các bước giải: Ta có : $(2a-1)^2 ≥ 0 $ $⇔ a^2+\dfrac{1}{4} ≥ a$ $⇔ a^2+b+ \dfrac{3}{4} ≥ a+b+\dfrac{1}{2}$ Tương tự thì $b^2+a+\dfrac{3}{4} ≥ a+b+\dfrac{1}{2}$ Mặt khác ta luôn có HĐT $(a+b)^2 ≥ 4ab$ Do đó : $\bigg(a^2+b+ \dfrac{3}{4} \bigg).\bigg(b^2+a+ \dfrac{3}{4}\bigg) ≥ \bigg(a+b+\dfrac{1}{2}\bigg)^2 ≥ 4.\bigg(a+\dfrac{1}{4}bigg).\bigg(b+\dfrac{1}{4}\bigg)= \bigg(2a+\dfrac{1}{2}\bigg).\bigg(2b+\dfrac{1}{2}\bigg)$ Dấu “=” xảy ra $⇔a=b=\dfrac{1}{2}$ Khi đó $P = \dfrac{1}{a+b} + 2019 = 2020$ Vậy $P=2020$ thỏa mãn đề. Bình luận
Giải thích các bước giải:
Ta có : $(2a-1)^2 ≥ 0 $
$⇔ a^2+\dfrac{1}{4} ≥ a$
$⇔ a^2+b+ \dfrac{3}{4} ≥ a+b+\dfrac{1}{2}$
Tương tự thì $b^2+a+\dfrac{3}{4} ≥ a+b+\dfrac{1}{2}$
Mặt khác ta luôn có HĐT $(a+b)^2 ≥ 4ab$
Do đó : $\bigg(a^2+b+ \dfrac{3}{4} \bigg).\bigg(b^2+a+ \dfrac{3}{4}\bigg) ≥ \bigg(a+b+\dfrac{1}{2}\bigg)^2 ≥ 4.\bigg(a+\dfrac{1}{4}bigg).\bigg(b+\dfrac{1}{4}\bigg)= \bigg(2a+\dfrac{1}{2}\bigg).\bigg(2b+\dfrac{1}{2}\bigg)$
Dấu “=” xảy ra $⇔a=b=\dfrac{1}{2}$
Khi đó $P = \dfrac{1}{a+b} + 2019 = 2020$
Vậy $P=2020$ thỏa mãn đề.